Question

【題目】菱形中，，，為上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，連接并延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn).

（1）如圖1，求證：；

（2）當(dāng)為直角三角形時(shí)，求的長(zhǎng)；

（3）當(dāng)為的中點(diǎn)，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）當(dāng)為直角三角形時(shí)，的長(zhǎng)是或；（3）.

【解析】

（1）先根據(jù)菱形的性質(zhì)證，再證，由全等的性質(zhì)可得，進(jìn)而得出結(jié)論；

（2）分以下兩種情況討論：①，②；

（3）過(guò)作于，過(guò)作于，當(dāng)三點(diǎn)在同一直線上且時(shí)的值最小，即為的長(zhǎng).

解：（1）四邊形是菱形，

，，

.

在和中，

，

，

.

（2）連接交于點(diǎn),

四邊形是菱形,

，.

又∠ABC=60°，∴△ABC為等邊三角形，

∴，.

∴.

∴.

，

.

當(dāng)時(shí)，有，

在中，

,

設(shè)，，

，

，解得.

.

.

當(dāng)時(shí)，有，

由知，

是等腰直角三角形.

.

綜上：當(dāng)為直角三角形時(shí)，的長(zhǎng)是或.

（3）過(guò)作于，過(guò)作于，

在中，

又是的中點(diǎn)，

.

當(dāng)三點(diǎn)在同一直線上且時(shí)

的值最小，即為的長(zhǎng).

在中，

，，

，

∴.

的最小值是.