Question

如圖：已知P是線段AB上的動點（P不與A，B重合），AB=4，分別以AP，PB為邊在線段AB的同側(cè)作等邊△AEP和等邊△PFB，連結(jié)EF，設(shè)EF的中點為G；連結(jié)PG，當(dāng)動點P從點A運動到點B時，設(shè)PG=m，則m的取值范圍是（　　）

• A、

  3

  ≤m＜

  3

• B、

  3

  ＜m＜2
• C、2

  3

  ≤m＜4
• D、

  3

  ≤m＜

  3

  2

Answer 1

考點：梯形中位線定理,二次函數(shù)的最值,等邊三角形的性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：分別延長AC、BD交于點H，易證四邊形EPFH為平行四邊形，得出G為PH中點，則G的運行軌跡△HAB的中位線MN，得出MN∥AB，從而求得PG＜AM且PG大于等于MN與AB間垂線段的長；

解答：解：如圖，分別延長AC、BD交于點H，
∵∠A=∠DPB=60°，
∴AH∥PD，
∵∠B=∠CPA=60°，
∴BH∥PC，
∴四邊形CPDH為平行四邊形，
∴CD與HP互相平分．
∵G為CD的中點，
∴G正好為PH中點，即在P的運動過程中，G始終為PH的中點，所以G的運行軌跡為△HAB的中位線MN，
∴MN∥AB，PG＜AM，
∵當(dāng)P在AB中點時，PH⊥AB，
∴當(dāng)P在AB中點時，PG的值最小，
∵△AEP和△PFB是等邊三角形，
∴∠A=∠B=60°，
∴△AHB是等邊三角形，
∴AH=AB=4，
∴當(dāng)P在AB中點時，PH=2

3

，
∴PG=

3

∴PG的最小值時

3

，
所以

3

≤m＜2，
故選B．

點評：本題考查了三角形中位線定理及等邊三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是作出輔助線，找到點G移動的規(guī)律，判斷出其運動路徑，綜合性較強．