【題目】如圖放置的兩個正方形,大正方形邊長為,小正方形邊長為(),邊上,且,連接,,于點,將繞點旋轉(zhuǎn)至,將繞點旋轉(zhuǎn)至,給出以下五個結(jié)論:①;②;③;④;⑤四點共圓,其中正確的序號為___________

【答案】①③④⑤

【解析】

根據(jù)正方形的性質(zhì)可得∠BAM+DAM=90°,∠NAD +AND=90°,然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠NAD=BAM,從而判斷①;證出,列出比例式即可判斷②;利用SAS即可證出③;先證出四邊形AMFN是正方形,然后根據(jù)勾股定理即可判斷④;證出∠AMP+ADP=180°,即可判斷⑤.

①∵四邊形ABCD是正方形,

∴∠BAD=ADC=B=90°,

∴∠BAM+DAM=90°,∠NAD +AND=90°,

∵將繞點A旋轉(zhuǎn)至

∴∠NAD=BAM,∠AND=AMB,

∴∠DAM=AND,故①正確;

②∵四邊形CEFG是正方形,

PCEF

,

,

∵大正方形ABCD邊長為a,小正方形CEFG邊長為bab),BM=b

EF=b,CM=abME=ab+b=a,

,

CP=;故②錯誤;

③∵將繞點F旋轉(zhuǎn)至

GN=ME

AB=a,ME=a

AB=ME=NG,

中,

AB=NG=a,∠B=NGF=90°,GF=BM=b

;故③正確;

④∵將繞點A旋轉(zhuǎn)至,

AM=AN,

∵將繞點F旋轉(zhuǎn)至,

NF=MF,

AM=NF,

∴四邊形AMFN是菱形,

∵∠BAM=NAD

∴∠BAM+DAM=NAD+DAN=90°,

∴∠NAM=90°,

∴四邊形AMFN是正方形,

∵在Rt中,a2+b2=AM2,

S四邊形AMFN=AM2=a2+b2;故④正確;

⑤∵四邊形AMFN是正方形,

∴∠AMP=90°,

∵∠ADP=90°,

∴∠AMP+ADP=180°,

AM,P,D四點共圓,故⑤正確.

綜上:正確的結(jié)論有①③④⑤.

故答案為:①③④⑤.

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3)根據(jù)圖1、圖2、圖3,描述該區(qū)1500名學(xué)生近視率和所在學(xué)段(小學(xué)、初中)、每節(jié)課課間戶外活動平均時長的關(guān)系.

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1)如圖2,當(dāng)點與點重合時,連接交邊,則____________;

2)如圖3,當(dāng)半圓的圓心落在了的斜邊的中線時,求此時的,并求出此時的面積;

3)在整個運動的過程中,當(dāng)半圓與邊有兩個公共點時,求出的取值范圍;

4)請直接寫出在整個運動過程中點的運動路徑長.

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1)求反比例函數(shù)解析式,并用平滑曲線描繪出反比例函數(shù)圖像;

2)依據(jù)圖像直接寫出當(dāng)時不等式的解集;

3)若反比例函數(shù)與一次函數(shù)交于、兩點,在圖中用直尺與鉛筆畫出兩個矩形(不寫畫法),要求每個矩形均需滿足下列兩個條件:

①四個頂點均在格點上,且其中兩個頂點分別是點、點;

②矩形的面積等于的值.

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(類比探究)

2)如圖2所示,ABCADE是有公共頂點的含有角的直角三角形,(1)中的結(jié)論還成立嗎?請說明理由;

(拓展延伸)

3)如圖3所示,ADEABC是有公共頂點且相似比為1 : 2的兩個等腰直角三角形,將ADE繞點A自由旋轉(zhuǎn),若,當(dāng)B、D、E三點共線時,直接寫出BD的長.

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