Question

【題目】如圖1，在中，，，，以為直徑的半圓按如圖所示位置擺放，點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)在邊的中點(diǎn)處，點(diǎn)從現(xiàn)在的位置出發(fā)沿方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)隨之沿下滑，并帶動(dòng)半圓在平面內(nèi)滑動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒（），點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)處停止，點(diǎn)為半圓中點(diǎn)．

（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，連接交邊于，則為____________；

（2）如圖3，當(dāng)半圓的圓心落在了的斜邊的中線時(shí)，求此時(shí)的，并求出此時(shí)的面積；

（3）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)半圓與邊有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求出的取值范圍；

（4）請(qǐng)直接寫出在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）0.5；（2）；；（3）當(dāng)或時(shí)圓與邊有兩個(gè)交點(diǎn)；（4）

【解析】

（1）首先根據(jù)中點(diǎn)求出AN的長(zhǎng)度，進(jìn)而求出圓的半徑，然后利用得到，可得出OE的長(zhǎng)度，最后利用即可求解；

（2）首先利用等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形斜邊中線的性質(zhì)推出，進(jìn)而有，則，從而求出t的值和CM,CN的長(zhǎng)度，最后利用三角形面積公式求解即可；

（3）分兩種情況：當(dāng)MN在AC邊上與圓相切時(shí)和當(dāng)MN在BC邊上與圓相切時(shí)，分別求出這兩種臨界狀況，然后數(shù)形結(jié)合即可得出答案；

（4）分析出P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，然后分三段分別進(jìn)行討論即可．

解：（1）∵N為AC中點(diǎn)，

∴ ，

．

∵點(diǎn)為半圓中點(diǎn),

，

，

，

即 ，

解得 ，

；

（2） ，

．

如圖，當(dāng)圓心落在斜邊中線時(shí):

∵，

∴點(diǎn)在圓上，

∴，

∴．

設(shè)為中點(diǎn)，則，

∴，

∴．

又∵，

∴，

∴，

即，

解得,，

∴，

∴；

（3）如圖，

當(dāng)圓與邊相切于點(diǎn)，連接，

∴．

∵，

∴，

∴，

即，

解得，

∴；

如圖，

當(dāng)圓與邊相切于點(diǎn)，連接，

∴．

∵，

∴，

∴，

即，

解得，

∴，

綜上，當(dāng)或時(shí)圓與邊有兩個(gè)交點(diǎn)；

（4）當(dāng)N點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)與點(diǎn)C重合時(shí)，P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程為；

當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)C重合時(shí)，如圖，

，

，

．

當(dāng)圓運(yùn)動(dòng)到如圖所示時(shí)，此時(shí)，

∵，O為MN中點(diǎn)，

∴ ，

，

∴當(dāng)N點(diǎn)從C運(yùn)動(dòng)到如圖所示時(shí)，P點(diǎn)始終在的角平分線上運(yùn)動(dòng)，

∴當(dāng)N點(diǎn)從C運(yùn)動(dòng)到如圖所示時(shí)，P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑為，

∴當(dāng)N點(diǎn)從C運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí)，這段時(shí)間內(nèi)P運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為．

從M點(diǎn)與C點(diǎn)重合到N點(diǎn)與B重合，P運(yùn)動(dòng)的路程為 ，

∴整個(gè)過程中P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為 ．