【題目】已知直線y=﹣x+2分別交x、y軸于點(diǎn)A、B,點(diǎn)C為線段OA的中點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P從坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā),以2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),以個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng).過(guò)點(diǎn)Q作QMAB交x軸于點(diǎn)M,動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā),其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn),另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng),設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒,PM的長(zhǎng)為y個(gè)單位長(zhǎng)度.

(1)BCO= °;

(2)求y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍;

(3)是否存在時(shí)間t,使得以PC為直徑的D與直線QM相切?若存在,求t的值;不存在,說(shuō)明理由.

【答案】145;2y=2﹣t(0≤t≤2)3當(dāng)t=1﹣或t=1+時(shí),以PC為直徑的D與直線QM相切

【解析】

試題分析:(1)先分別求得點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo),從而得到點(diǎn)C的坐標(biāo),從而得到OB=OC,于是可求得BCO的度數(shù);

(2)先由相似三角形的性質(zhì)得到CM的長(zhǎng),然后依據(jù)PM=CO+CM﹣OP可求得y與t的函數(shù)關(guān)系式;

(3)當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C的左邊時(shí),可求得DM=1,由tanNMD=,可求得DN=,然后可求得DC=1﹣t,從而可求得t的值;當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C的右側(cè)時(shí),可求得DC=t﹣1,DN=,從而可求得t的值.

解:(1)令y=0得﹣x+2=0,解得:x=4,

A(0,4).

OA=4

點(diǎn)C為線段OA的中點(diǎn),

OC=2

令x=0得:y=2,

B(0,2).

OB=2

OB=OC

∵∠BOC=90°,

∴∠BCO=45°

故答案為:45.

(2)如圖1所示:

OB=CO=2BOC=90°,

BC=OB=2

OA=4,OC=2,

AC=2

設(shè)點(diǎn)P和點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t,則OP=2t,QP=t.

QMAB,

,即,解得CM=t.

PM=CO+CM﹣OP=2+t﹣2t=2﹣t(0≤t≤2).

y與t的函數(shù)關(guān)系是為y=2﹣t(0≤t≤2).

(3)如圖2所示:設(shè)N為切線,連接DN.

OP=2t,OC=2,

PC=2﹣2t.

PD=DC=1﹣t.

DM=PM﹣PD=2﹣t﹣(1﹣t)=1.

MQ是圓D的切線,

DNQM

OB=2,OA=4,

tanBAO=

QMAB

tanNMP=

DN=DM=

1﹣t=,解得:t=1

如圖3所示:設(shè)N為切線,連接DN.

OP=2t,OC=2,

PC=2t﹣2.

DC=DP=t﹣1.

DM=t﹣1+2﹣t=1.

DN=

t﹣1=,解得:t=1+

綜上所述,當(dāng)t=1﹣或t=1+時(shí),以PC為直徑的D與直線QM相切.

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同學(xué)們作了一步又一步的研究:

(1)經(jīng)過(guò)思考,小明展示了一種解題思路:如圖1,取AB的中點(diǎn)M,連接ME,則AM=EC,易證AME≌△ECF,所以AE=EF,小明的觀點(diǎn)正確嗎?如果正確,寫(xiě)出證明過(guò)程;如果不正確,請(qǐng)說(shuō)明理由;

(2)小穎提出一個(gè)新的想法:如圖2,如果把“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊BC上(除B,C外)的任意一點(diǎn)”,其它條件不變,那么結(jié)論“AE=EF”仍然成立,小穎的觀點(diǎn)正確嗎?如果正確,寫(xiě)出證明過(guò)程;如果不正確,請(qǐng)說(shuō)明理由;

(3)小華提出:如圖3,點(diǎn)E是BC的延長(zhǎng)線上(除C點(diǎn)外)的任意一點(diǎn),其他條件不變,結(jié)論“AE=EF”仍然成立.小華的觀點(diǎn)正確嗎?如果正確,寫(xiě)出證明過(guò)程;如果不正確,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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