Question

【題目】在中，點是直線上的一動點(不與點重合)，連接在的右側(cè)以為斜邊作等腰直角三角形.點是的中點，連接.

[問題發(fā)現(xiàn)]

（1）如圖(1)，當點是的中點時，線段與的數(shù)量關(guān)系是______，與的位置關(guān)系是______；

　

[猜想論證]

（2）如圖（2），當點在邊上且不是的中點時，(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請僅就圖（2）中的情況給出證明；若不成立，請說明理由．

[拓展應用]

（3）若，其他條件不變，連接.當是等邊三角形時，請直接寫出的面積．

Answer 1

【答案】（1）；（2）仍然成立，證明見解析；（3）的面積是或．

【解析】

（1）利用等腰直角三角形的判定和性質(zhì)解決問題即可．
（2）結(jié)論仍然成立：如圖2中，延長DE到F，使得EF＝DE，連接CF，BF．證明△ACD≌△BCF（SAS），再利用三角形的中位線定理即可解決問題．
（3）分兩種情形：如圖3-1中，當△BCE是等邊三角形時，過點E作EH⊥BD于H．如圖32中，當△BCE是等邊三角形時，過點E作EH⊥BD于H．分別求出AD，EH即可解決問題．

（1）如圖1中，

∵CA＝CB，∠ACB＝90°，AD＝BD，
∴CD⊥AB，CD＝AD＝DB，
∴∠A＝∠B＝45°，∠DCB＝∠ACD＝45°，
∵∠DCE＝45°，
∴點E在線段CB上，
∵DE⊥BC，
∴∠EDB＝∠B＝45°，
∵DH＝HB，
∴EH⊥DB，EH＝DB＝AD，
故答案為：EH＝AD，EH⊥AD．

（2）仍然成立

如圖，延長到，使得連接

則垂直平分線段.

.

在和中，

點分別是和的中點，

是的中位線，

且

（3）如圖31中，當△BCE是等邊三角形時，過點E作EH⊥BD于H．

∵∠ACB＝90°，∠ECB＝60°，
∴∠ACE＝30°，
∵AC＝CB＝CE＝EB＝DE＝，
∴∠CAE＝∠CEA＝75°，
∵∠CAB＝45°，
∴∠EAH＝30°，
∵∠DEC＝90°，∠CEB＝60°，
∴∠DEB＝150°，
∴∠EDB＝∠EBD＝15°，
∵∠EAH＝∠ADE＋∠AED，
∴∠ADE＝∠AED＝15°，
∴AD＝AE，設(shè)EH＝x，則AD＝AE＝2x，AH＝，
∵EH＋DH＝DE，
∴

∴x＝，
∴AD＝，

∴S△ADE＝=，

如圖32中，當△BCE是等邊三角形時，過點E作EH⊥BD于H．

同法可求：EH＝，AD＝，

∴S△ADE＝,

綜上所述，滿足條件的△ADE的面積為42或4＋2．