【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)D,點(diǎn)C為拋物線的頂點(diǎn),過(guò)B,C兩點(diǎn)作直線BC,拋物線上的一點(diǎn)F的橫坐標(biāo)是,過(guò)點(diǎn)F作直線FG//BC交x軸于點(diǎn)G.
(1)點(diǎn)P是直線BC上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),連接PG與直線BC交于點(diǎn)E,連接EF,PF,當(dāng)的面積最大時(shí),在x軸上有一點(diǎn)R,使PR+CR的值最小,求出點(diǎn)R的坐標(biāo),并直接寫出PR+CR的最小值;
(2)如圖2,連接AD,作AD的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)K,平移拋物線,使拋物線的頂點(diǎn)C在射線BC上移動(dòng),平移的距離是t,平移后拋物線上點(diǎn)A,點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A′,點(diǎn)C′,連接A′C′,A′K,C′K,A′C′K是否能為等腰三角形?若能,求出t的值;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)點(diǎn)R坐標(biāo)為(,0), ;(2)存在,t的值為或.
【解析】
(1)首先求出B、C兩點(diǎn)坐標(biāo),即可確定直線BC的解析式,求出FG的解析式即可求出點(diǎn)G的坐標(biāo),如圖1中,過(guò)點(diǎn)G作y軸的平行線,過(guò)F作x軸的平行線交于點(diǎn)K,連接PK.設(shè)P(m,),因?yàn)?/span>BC∥FG,FG是定值,所以△EFG的面積是定值,所以△PFG的面積最大時(shí),△PEF的面積最大,構(gòu)建二次函數(shù),利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出點(diǎn)P坐標(biāo),作P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P′,連接P′C交x軸于R,此時(shí)CR+RP最小,由此即可解決問(wèn)題.
(2)分三種情形討論即可:①當(dāng)KA′=A′C′時(shí),②當(dāng)C′A′=C′K時(shí),③當(dāng)KA′=KC′時(shí),分別列出方程求解即可.
解:(1)對(duì)于拋物線,另y=0得到,
解得:或,
∴點(diǎn)B坐標(biāo)為(,0),
∵,
∴頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為:(,4),
設(shè)直線BC解析式為y=kx+b,
則,解得:,
∴直線BC解析式為:,
將F的橫坐標(biāo)代入拋物線解析式可得:F(,-5),
∵FG//BC,
∴直線FG解析式為:,
令y=0得到,
∴點(diǎn)G坐標(biāo)為:(),
如圖1中,過(guò)點(diǎn)G作y軸的平行線,過(guò)F作x軸的平行線交于點(diǎn)K,連接PK.
設(shè)P(m,),
∵BC∥FG,FG是定值,
∴△EFG的面積是定值,
∴△PFG的面積最大時(shí),△PEF的面積最大,
∵S△PFG=S△PGK+S△PFK-S△FGK=
,
∵<0,
∴m=時(shí),△PFG的面積最大,即△PEF的面積最大,
∴P(,3),
作P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P′(,-3),連接P′C交x軸于R,此時(shí)CR+RP最小,
最小值=CP′=,
設(shè)直線P′C的解析式為:,
則,解得:
∴直線P′C的解析式為,
當(dāng)y=0時(shí),,
∴點(diǎn)R坐標(biāo)為(,0);
(2)如圖2中,連接DK,DA,
∵A(),D(0,3),
∴OA=,DO=3,
∴tan∠DAO=,
∴∠DAO=60°,
∵KA=KD,
∴△ADK是等邊三角形,
∴AD=AK=,K(,
①∵A(,0),C(,4),
∴AC=,
當(dāng)KA′=A′C′=AC=時(shí),
∵AA′=t,tan∠A′AM=tan∠ABC=,
∴sin∠A′AM=sin∠ABC=,
∴A′M=,AM=,
在Rt△A′MK中,A′K2=A′M2+KM2=+()2,
∴+()2=()2,
解得:或(舍去);
②如圖3,當(dāng)C′A′= C′K時(shí),連接CK,作KM⊥BC于M,
在Rt△BCK中,
∵,
∴,
∴,
∴C′K2=KM2+ C′M2=,
∴,
解得:或(舍去);
③當(dāng)KA′= KC′時(shí),+()2=,
解得:(舍去),
綜上所述,當(dāng)△A′C′K為等腰三角形時(shí),t的值為或.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AD是Rt△ABC斜邊BC上的中線,過(guò)A,D兩點(diǎn)的⊙O交AC于E,弦EF∥BC.
(1)求證:AD=EF;
(2)若O在AC邊上,且⊙O與BC邊相切,當(dāng)EF=2時(shí),求的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】對(duì)于三個(gè)數(shù)、、,用表示這三個(gè)數(shù)的中位數(shù),用表示這三個(gè)數(shù)中最大數(shù),例如:,,.
解決問(wèn)題:
(1)填空:如果,則的取值范圍為 ;
(2)如果,求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角梯形中,,,分別以邊所在直線為軸,軸建立平面直角坐標(biāo)系.
(1)求點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)已知分別為線段上的點(diǎn),,直線交軸于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)E作EG⊥x軸于G,且EG:OG=2.求直線的解析式;
(3)點(diǎn)是(2)中直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),在軸上方的平面內(nèi)是否存在一點(diǎn),使以為頂點(diǎn)的四邊形為菱形?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,AB=AC,AD、CE是高,連接DE.
(1)求證:BC=2DE;
(2)若∠BAC=50°,求∠ADE的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】從三角形(不是等腰三角形)一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線與對(duì)邊相交,頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形,如果分得的兩個(gè)小三角形中一個(gè)為等腰三角形,另一個(gè)與原三角形相似,我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的完美分割線.
(1)如圖①,在△ABC中,CD為角平分線,∠A=40°,∠B=60°,求證:CD是△ABC的完美分割線;
(2)如圖②,在△ABC中,AC=2,BC=,CD是△ABC的完美分割線,且△ACD是以CD為底邊的等腰三角形,求完美分割線CD的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=8cm,BC=16cm,點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A停止,同時(shí),點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C即停止,點(diǎn)P、Q的速度都是1cm/s.連接PQ、AQ、CP.設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts.
(1)當(dāng)t為何值時(shí),四邊形ABQP是矩形;
(2)當(dāng)t為何值時(shí),四邊形AQCP是菱形;
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,將矩形紙片ABCD(AD>AB)沿BD折疊,點(diǎn)C落在點(diǎn)C′處.
(1)連接BD,請(qǐng)用直尺和圓規(guī)在圖1中作出點(diǎn)C′;(不寫作法,保留作圖痕跡)
(2)若BC′與AD相交于點(diǎn)E,EB與ED的數(shù)量關(guān)系是 ;連接AC′,則AC′與BD的位置關(guān)系是 ;
(3)在(2)的條件下,若AB=4,AD=8,求BE的長(zhǎng).(提示:(2)、(3)兩題可以在圖2中作出草圖完成)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】現(xiàn)代互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的廣泛應(yīng)用,加速了快遞行業(yè)的發(fā)展,據(jù)調(diào)查,某家小型快遞公司,今年3月與5月完成投遞的快件總數(shù)分別為10萬(wàn)件和14.4萬(wàn)件,現(xiàn)假定該公司每月投遞的快件總數(shù)的增長(zhǎng)率相同.
(1)求該快遞公司投遞快件總數(shù)的月平均增長(zhǎng)率?
(2)如果該公司平均每名快件投遞業(yè)務(wù)員每月最多可投遞快件0.6萬(wàn)件,那么該公司現(xiàn)有的21名快件投遞業(yè)務(wù)員能否完成今年6月的快件投遞任務(wù)?如果不能,請(qǐng)問(wèn)至少需要增加幾名業(yè)務(wù)員?
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