Question

【題目】如圖，AC為正方形ABCD的對角線，點E為DC邊上一點（不與C、D重合），連接BE，以E為旋轉(zhuǎn)中心，將線段EB逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段EF，連接DF．

（1）請在圖中補全圖形．

（2）求證：AC∥DF．

（3）探索線段ED、DF、AC的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）DF+ED=AC，見解析

【解析】

（1）由題意直接根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義，進行作圖即可；

（2）根據(jù)題意作FG⊥CD，交CD的延長線于點G，證△BCE≌△EGF得BC=EG，CE=FG，由BC=CD知CE=DG．從而得DG=FG，據(jù)此知∠FDG=45°，繼而得出∠3=∠4=45°，從而得證；

（3）根據(jù)題意由∠3=45°知AC=DC．由∠DFG=45°知DF=CE，結(jié)合CD=CE+DE=DE+EG得CD=DE+DF，從而知AC=DC=（DE+DF）=DF+ED．

解：（1）如圖1所示，

（2）證明：理由如下：

如上圖，過點F作FG⊥CD，交CD的延長線于點G．

∴∠BEF=90°，

∴∠2+∠BEC=90°，

∵∠1+∠BEC=90°，

∴∠2=∠1，

∵BE=EF，∠BCD=∠FGE，

∴△BCE≌△EGF（AAS），

∴BC=EG，CE=FG，

又∵BC=CD，

∴CE=DG，

∴DG=FG，

∴∠FDG=45°，

∴∠3=∠4=45°，

∴AC∥DF．

（3）線段ED、DF、AC的數(shù)量關(guān)系為：DF+ED=AC，

理由如下：在Rt△ABC中∠3=45°，

因此AC=DC．

∵CD=CE+DE=DE+EG，

在Rt△ABC中∠DFG=45°，DF=CE，即，

∴CD=CE+DE=DE+DF，

∴AC=DC=（DE+DF）=DF+ED．