Question

10．如圖，已知反比例函數(shù)y₁=$\frac{{k}_{1}}{x}$的圖象與一次函數(shù)y₂=k₂x+b的圖象交于A、B兩點(diǎn)，A（2，n），B（-$\frac{1}{2}$，-2）．
（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
（2）觀察圖象，直接寫(xiě)出不等式y(tǒng)₁＞y₂的解集；
（3）求△AOB的面積．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出反比例函數(shù)的解析式；由點(diǎn)A在反比例函數(shù)圖象上，可求出n的值，即求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出一次函數(shù)的解析式；
（2）結(jié)合兩函數(shù)的圖象的上下位置以及交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出不等式的解集；
（3）設(shè)一次函數(shù)y₂=x-$\frac{3}{2}$與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)C，令一次函數(shù)中y=0，可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，結(jié)合A、B、C點(diǎn)的坐標(biāo)利用三角形的面積公式即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵點(diǎn)B（-$\frac{1}{2}$，-2）在反比例函數(shù)y₁=$\frac{{k}_{1}}{x}$的圖象上，
∴-2=$\frac{{k}_{1}}{-\frac{1}{2}}$，解得：k₁=1．
∴反比例函數(shù)的解析式為y₁=$\frac{1}{x}$；
∵點(diǎn)A（2，n）在反比例函數(shù)y₁=$\frac{1}{x}$的圖象上，
∴n=$\frac{1}{2}$，即點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，$\frac{1}{2}$）．
將點(diǎn)A（2，$\frac{1}{2}$）、B（-$\frac{1}{2}$，-2）代入到一次函數(shù)y₂=k₂x+b中得：
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}=2{k}_{2}+b}\\{-2=-\frac{1}{2}{k}_{2}+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=1}\\{b=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$．
∴一次函數(shù)的解析式為y₂=x-$\frac{3}{2}$．
（2）結(jié)合函數(shù)圖象可知：當(dāng)x＜-$\frac{1}{2}$或0＜x＜2時(shí)，反比例函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象的上方，
故不等式y(tǒng)₁＞y₂的解集為x＜-$\frac{1}{2}$或0＜x＜2．
（3）設(shè)一次函數(shù)y₂=x-$\frac{3}{2}$與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)C，如圖所示．

令y₂=x-$\frac{3}{2}$中y₂=0，則0=x-$\frac{3}{2}$，
解得：x=$\frac{3}{2}$，即點(diǎn)C的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，0）．
S_△AOB=$\frac{1}{2}$OC•（y_A-y_B）=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×[$\frac{1}{2}$-（-2）]=$\frac{15}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及三角形的面積公式，解題的關(guān)鍵：（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）結(jié)合函數(shù)圖象解不等式；（3）求出點(diǎn)C的坐標(biāo)．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵．