【題目】如圖 1,在 RtABC 中,∠ACB90°ACBC,D BC 上的一點(diǎn),過點(diǎn) D DEAB,垂足為點(diǎn) E,F AD 的中點(diǎn),連接 CFEF

1)猜想CFEF的關(guān)系,并說明理由;

2)如圖2,連接BF,若∠AEF30°,求∠BFE 的度數(shù).

【答案】(1)CF=EFCFEF,理由見解析;(2)∠BFE=15°.

【解析】

(1)由等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠CAB=∠EBD=45°,在Rt△ACD中,由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可得CF=AF,從而有∠FAC=∠FCA,同理在Rt△AED中,可得EF=AF∠FAE=∠FEA,繼而可得CF=EF,再由三角形外角的性質(zhì)以及角的和差可得∠CFD+∠EFD=90°,即可得CFEF;

(2)∠EBD=45°,∠BED=90°可得BE=ED,再由∠AEF=30°,可得∠BEF=150°,∠FED=60°,繼而可得△FED是等邊三角形,從而有EF=ED,繼而可得BE=EF,再利用等邊對(duì)等角即可求得答案.

(1)CF=EF,CFEF,理由如下:

Rt△ABC 中,ACB90°,ACBC

∠CAB=∠B=45°,

DEAB

∠BED=∠AED=90°,

Rt△ACD中,∠ACD=90°,FAD中點(diǎn),

∴CF=AF,

∠FAC=∠FCA,

Rt△AED中,∠AED=90°FAD中點(diǎn),

∴EF=AF,

∠FAE=∠FEA,

CF=EF,

∠CFD=∠FAC+∠FCA,∠EFD=∠FAE+∠FEA,∠FAC+∠FAE=∠CAB=45°,

∴∠CFD+∠EFD=90°

即∠EFC=90°,

CFEF

(2)∠EBD=45°,∠BED=90°

∴∠EDB=90°-∠EBD=45°=∠EBD,

∴BE=ED

∠AEF=30°,

∴∠BEF=180°-∠AEF=150°,∠FED=∠AED-∠AEF=90°-30°=60°∠FAE=∠AEF=30°,

∠ADE=60°,

∠FDE=FED=60°

△FED是等邊三角形,

EF=ED,

BE=EF,

∠BFE=(180°-150°)÷2=15°.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A. B. C. D.

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(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)DM重合時(shí),求證:四邊形ABDE是平行四邊形;

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)D不與M重合時(shí),(1)中的結(jié)論還成立嗎?請(qǐng)說明理由.

(3)如圖3,延長BDAC于點(diǎn)H,BHAC,BH=AM

①求∠CAM的度數(shù);

②當(dāng)FH=, DM=4時(shí),DH的長.

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【題目】如圖1,在ABCD中,DHAB于點(diǎn)H,CD的垂直平分線交CD于點(diǎn)E,交AB于點(diǎn)F,AB=6,DH=4,BF:FA=1:5.

(1)如圖2,作FGAD于點(diǎn)G,交DH于點(diǎn)M,將DGM沿DC方向平移,得到CG′M′,連接M′B.

①求四邊形BHMM′的面積;

②直線EF上有一動(dòng)點(diǎn)N,求DNM周長的最小值.

(2)如圖3,延長CBEF于點(diǎn)Q,過點(diǎn)QQKAB,過CD邊上的動(dòng)點(diǎn)PPKEF,并與QK交于點(diǎn)K,將PKQ沿直線PQ翻折,使點(diǎn)K的對(duì)應(yīng)點(diǎn)K′恰好落在直線AB上,求線段CP的長.

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【題目】定義:如圖①,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P在該拋物線上(P點(diǎn)與A、B兩點(diǎn)不重合).如果△ABP的三邊滿足AP2+BP2=AB2,則稱點(diǎn)P為拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的勾股點(diǎn).

(1)直接寫出拋物線y=-x2+1的勾股點(diǎn)的坐標(biāo).

(2)如圖②,已知拋物線y=ax2+bx(a≠0)與x軸交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P(1, )是拋物線的勾股點(diǎn),求拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

(3)在(2)的條件下,點(diǎn)Q在拋物線上,求滿足條件S△ABQ=S△ABP的Q點(diǎn)(異于點(diǎn)P)的坐標(biāo).

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(2)乙家庭沒有孩子,準(zhǔn)備生兩個(gè)孩子求至少有一個(gè)孩子是女孩的概率.

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