【題目】如圖,已知∠MON=120°,點(diǎn)A,B分別在OM,ON上,且OA=OB=a,將射線OM繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OM′,旋轉(zhuǎn)角為α(0°<α<120°,且α≠60°),作點(diǎn)A關(guān)于直線OM′的對(duì)稱點(diǎn)C,畫直線BC交OM′于點(diǎn)D,連接AC,AD.
(1)求證:AD=CD;
(2)如圖1,當(dāng)0°<α<60°時(shí),試證明∠ACD的大小是一個(gè)定值;
(3)當(dāng)60°<α<120°時(shí),(2)中的結(jié)論還成立嗎?請(qǐng)補(bǔ)全圖形并說明理由;
(4)△ACD面積的最大值為 .(直接寫出結(jié)果)
【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析;(3)結(jié)論不變;(4)a2.
【解析】
(1)證明△ODC≌△ODA(SSS)即可解決問題;
(2)如圖1中,由題意OB=OA=OC,以O為圓心OC為半徑作⊙O,在⊙O上OA的下方取一點(diǎn)H,連接HB,HA.理由圓周角定理,圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可解決問題;
(3)結(jié)論不變.如圖2中,由題意OB=OA=OC,以O為圓心OC為半徑作⊙O,理由圓周角定理即可解決問題;
(4)證明△ACD是等邊三角形,可知當(dāng)AC為⊙O的直徑時(shí),△ACD的面積最大.
(1)如圖1中,連接OC,
∵點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于直線OD對(duì)稱,
∴OC=OA,DC=DA,
∵OD=OD,
∴△ODC≌△ODA(SSS),
∴DC=DA;
(2)如圖1中,由題意OB=OA=OC,以O為圓心OC為半徑作⊙O,在⊙O上OA的下方取一點(diǎn)H,連接HB,HA.
∵∠H=∠AOB=60°,∠H+∠BCA=180°,
∴∠BCH=120°,
∴∠ACD=60°,
∴∠ACD是定值;
(3)結(jié)論不變.
理由:如圖2中,由題意OB=OA=OC,以O為圓心OC為半徑作⊙O,
∵∠AOB=120°,∠ACB=∠AOB,
∴∠ACB=60°,
故結(jié)論成立;
(4)由(1)(2)可知:DC=DA,∠ACD=60°,
∴△ACD是等邊三角形,
∴當(dāng)AC為⊙O的直徑時(shí),△ACD的面積最大,
∴S△ADC=×(2a)2=a2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某汽車在路面上朝正東方向勻速行駛,在A處觀測(cè)到樓H在北偏東60°方向上,行駛1小時(shí)后到達(dá)B處,此時(shí)觀測(cè)到樓H在北偏東30°方向上,那么該車?yán)^續(xù)行駛( )分鐘可使汽車到達(dá)離樓H距離最近的位置.
A.60 B.30 C.15 D.45
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的⊙O交AC邊于點(diǎn)D,過點(diǎn)C作CP∥AB,在CP上截取CF=CD,連接BF.
(1)求證:直線BF是⊙O的切線;
(2)若AB=5,BC=,求線段CD和BF的長(zhǎng).
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【題目】如圖,一農(nóng)戶要建一個(gè)矩形鴨舍,鴨舍的一邊利用長(zhǎng)為13m的住房墻,另外三邊用27m長(zhǎng)的建筑材料圍成,為方便進(jìn)出,在垂直于住房墻的一邊留一個(gè)1m寬的門所圍矩形鴨舍的長(zhǎng)、寬分別為多少時(shí),鴨舍面積為?
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【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A(﹣1,0),頂點(diǎn)坐標(biāo)(1,n),與y軸的交點(diǎn)在(0,2),(0,3)之間(包含端點(diǎn)),則下列結(jié)論:①3a+b<0;②﹣1≤a≤﹣;③對(duì)于任意實(shí)數(shù)m,a+b≥am2+bm總成立;④關(guān)于x的方程ax2+bx+c=n﹣1有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為( )
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
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【題目】如圖,△ABC與△A1B1C1是位似圖形.
(1)在網(wǎng)格上建立平面直角坐標(biāo)系,使得點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣6,﹣1),點(diǎn)C1的坐標(biāo)為(﹣3,2),則點(diǎn)B的坐標(biāo)為 ;
(2)以點(diǎn)A為位似中心,在網(wǎng)格圖中作△AB2C2,使△AB2C2和△ABC位似,且位似比為1:2;
(3)在圖上標(biāo)出△ABC與△A1B1C1的位似中心P,并寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ,計(jì)算四邊形ABCP的周長(zhǎng)為 .
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【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c與x軸相交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè),頂點(diǎn)在折線M﹣P﹣N上移動(dòng),它們的坐標(biāo)分別為M(﹣1,4)、P(3,4)、N(3,1).若在拋物線移動(dòng)過程中,點(diǎn)A橫坐標(biāo)的最小值為﹣3,則a﹣b+c的最小值是_____.
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【題目】如圖,P點(diǎn)是某海域內(nèi)的一座燈塔的位置,船A停泊在燈塔P的南偏東53°方向的50海里處,船B位于船A的正西方向且與燈塔P相距20海里.(本題參考數(shù)據(jù)sin53°≈0.80,cos53°≈0.60,tan53°≈1.33.)
(1)試問船B在燈塔P的什么方向?
(2)求兩船相距多少海里?(結(jié)果保留根號(hào))
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【題目】已知蓄電池的電壓為定值,使用蓄電池時(shí),電流I(單位:A)與電阻R(單位:Ω)是反比例函數(shù)關(guān)系,它的圖象如圖所示.
(1)請(qǐng)寫出這個(gè)反比例函數(shù)的解析式;
(2)蓄電池的電壓是多少?
(3)完成下表:
(4)如果以此蓄電池為電源的用電器的限制電流不能超過10 A,那么用電器可變電阻應(yīng)控制在什么范圍?
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