Question

【題目】已知：如圖，點C在∠MON的一邊OM上，過點C的直線AB∥ON，CD平分∠ACM，CE⊥CD．

（1）若∠O=50°，求∠BCD的度數(shù)；

（2）求證：CE平分∠OCA；

（3）當∠O為多少度時，CA分∠OCD成1：2兩部分，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）115°；（2）證明見解析；（3）結論：當∠O=36°或90°時，CA分∠OCD成1：2兩部分.

【解析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠O=∠MCB，由平角定義可得∠ACM=130°，再利用角平分線的定義可求∠DCM=65°，從而可求出∠BCD的度數(shù)；

(2)利用等角的余角相等證明∠ACE=∠ECO即可；

(3)結合(2)的結論可知∠BOC=∠BOM=∠DOM，從而得出結論.

解：（1）∵AB∥ON，

∴∠O=∠MCB（兩直線平行，同位角相等）.

∵∠O=50°，

∴∠MCB=50°.

∵∠ACM＋∠MCB=180°（平角定義），

∴∠ACM=180°－50°=130°.

又∵CD平分∠ACM，

∴∠DCM=65°（角平分線定義），

∴∠BCD=∠DCM＋∠MCB=65°＋50°=115°，

（2）∵CE⊥CD，

∴∠DCE=90°，

∴∠ACE＋∠DCA=90°..

又∵∠MCO=180°（平角定義），

∴∠ECO＋∠DCM=90°，

∵∠DCA =∠DCM，

∴∠ACE=∠ECO（等角的余角相等），

即CE平分∠OCA；

（3）①當∠OCA: ∠ACD=1：2時，

設∠OCD=x°, ∠ACD=2x°,由題意得

x+2x+2x=180,

∴x=36,

∴∠O=∠OCA=x=36°;

②當∠ACD：∠OCA =1：2時，

設∠ACD =x°, ∠OCA =2x°,由題意得

x+x+2x=180,

∴x=45,

∴∠O=∠OCA=2x=2×45°=90°;

∴當∠O=36°或90°時，CA分∠OCD成1：2兩部分.