Question

【題目】如圖1，拋物線y＝﹣x2+bx+c（a≠0）的頂點為C，交x軸于A、B兩點，交y軸于點D．

（1）求拋物線的解析式；并直接寫出點C的坐標．

（2）如圖2，點P為直線BD上方拋物線上一點，作PE⊥BD于點E,AF⊥BD于點F若，請求出點P的坐標．

（3）如圖3，M為線段AB上的一點，過點M作MN∥BD，交線段AD于點N，連接MD，若△DNM∽△BMD，請求出點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1），（1，4）；（2）（1，4）或（2，3）；（3）（，0）．

【解析】

（1）把點A、B代入解析式，利用待定系數(shù)法求解，即可得到答案；

（2）由，得到，然后求出直線BD的解析式，設(shè)P（m，﹣m2+2m+3），則Q（m，﹣m+3），則，即可求出點P的坐標；

（3）設(shè)M（a，0），證明△AMN∽△ABD，可得，再由△DNM∽△BMD，可得，得出關(guān)于a的方程，解方程即可得出答案．

解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）過A（﹣1，0）B（3，0）

設(shè)解析式，

∴拋物線的解析式為：．

∴頂點C的坐標（1，4）；

（2）作PE⊥BD于點E，AF⊥BD于點F，

若，則，

∴S△PBD ＝ S△ABD＝×6＝3

過點P作PQ∥y軸交DB于點Q，

∵拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3

∴D（0，3）．

設(shè)直線BD的解析式為y＝kx+n，

∴，解得：，

∴直線BD的解析式為y＝﹣x+3．

設(shè)P（m，﹣m2+2m+3），則Q（m，﹣m+3），

∴PQ＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m．

∵S△PBD＝S△PQD+S△PQB，

∴S△PBD＝×PQ×（3﹣m）＝PQ＝﹣m，

∵S△PBD＝3，

∴﹣m＝3．

解得：m1＝1，m2＝2．

∴點P的坐標為（1，4）或（2，3）．

（3）∵B（3，0），D（0，3），

∴BD＝＝3，

設(shè)M（a，0），

∵MN∥BD，

∴△AMN∽△ABD，

∴，即．

∴MN＝（1+a），DM＝＝，

∵△DNM∽△BMD，

∴，

∴DM2＝BDMN，

∴9+a2＝3（1+a）．

解得：a＝或a＝3（舍去）．

∴點M的坐標為（，0）．