【題目】(1)操作發(fā)現(xiàn):

如圖①'在正方形ABCD中,過A點有直線AP,點B關于AP的對稱點為E,連接DE交AP于點F,當∠BAP=20°時,則∠AFD= °;當∠BAP=α°(0<α<45°)時,則∠AFD= °;猜想線段DF, EF, AF之間的數(shù)量關系:DF-EF= AF(填系數(shù));

(2)數(shù)學思考:

如圖②,若將“正方形ABCD中”改成“菱形ABCD中,∠BAD=120°”,其他條件不變,則∠AFD= °;線段DF, EF, AF之間的數(shù)量關系是否發(fā)生改變,若發(fā)生改變,請寫出數(shù)量關系并說明理由;

(3)類比探究:

如圖③,若將“正方形ABCD中”改成“菱形ABCD中,∠BAD=α°”,其他條件不變,則∠AFD= °;請直接寫出線段DF,EF,AF之間的數(shù)量關系: .

【答案】(1)45,45,

(2)30,改變,DF-EF=AF

(3)(90-),DF-EF=2sin·AF

【解析】試題分析:對于(1),作AM垂直DE,在DF上取點G,使∠FAG=BAD=90°,根據B的對稱點為E,四邊形ABCD為正方形,即可求得EAF≌△DAG,從而得出AFG為等腰直角三角形,即可求出∠AFG,根據DF-EF=FG,在直角三角形FAG中,利用三角函數(shù)值,即可求得答案;

對于(2),作AM垂直DE,在DF上取點G,使∠FAG=BAD=120°,根據B的對稱點為E,四邊形ABCD為菱形,即可求得EAF≌△DAG,從而得出AFG為等腰直角三角形,即可求出∠AFG,根據DF-EF=FG,解直角三角形AFM,利用三角函數(shù)值求出FM=AF,再根據FG=2FM,即可解答;

對于(3),同理可證EAF≌△DAG,從而得出AFG為等腰直角三角形,即可求出∠AFG,解直角三角形AFM,利用三角函數(shù)值求出FM=sin AF,即可解答.

試題解析:(145°45°;.

230°DF,EFAF間的數(shù)量關系發(fā)生變化,變?yōu)?/span>DF-EF=AF.

理由如下:如圖,在DF上取點G,使∠FAG=BAD=120°.

∵∠AFG=30°,

∴∠AGF=30°.

AF=AG.

由對稱知AE=AB,

BAF=EAF,由菱形性質知AB=AD,

AE=AD,EAF=FAG-BAG=BAD-BAG=GAD.

∴△EAF≌△DAG

EF=DG,

DF-EF=DF-DG=FG

AMEDM,

AF=AG,

FG=2FM

RtAFM中,

AFM=30°,AMF=90°,

FM=AF.

DF-EF=FG=2FM=AF.

390°-;DF-EF=2sinAF.

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