Question

【題目】如圖，已知拋物線與x軸交于點A(－1，0)，與y軸交于點C(0，3)，且對稱軸方程為．

（1）求拋物線與軸的另一個交點B的坐標(biāo)；

（2）求拋物線的解析式；

（3）設(shè)拋物線的頂點為D，在其對稱軸的右側(cè)的拋物線上是否存在點P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（4）若點M是拋物線上一點，以B、C、D、M為頂點的四邊形是直角梯形，試求出點M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）(3,0)；（2）y=-x2+2x+3；（3）存在；符合條件的點P坐標(biāo)為或(2,3)；（4）M(2,3)

【解析】

（1）根據(jù)拋物線與x軸的交點和對稱軸方程即可得出拋物線與x軸的另一個交點B的坐標(biāo)為；

(2)根據(jù)A、C、B的坐標(biāo)運用待定系數(shù)法即可求出求拋物線的解析式；

(3)分以CD為底邊和以CD為一腰兩種情況分類討論，即可得出△PDC是等腰三角形符合條件的點P的坐標(biāo)；

(4)根據(jù)勾股定理∠BCD=90°，再由拋物線對稱性可知點坐標(biāo)M為(2,3).

（1）∵拋物線與x軸交于點A(-1,0)，對稱軸方程為x=1，

∴拋物線與x軸的另一個交點B的坐標(biāo)為(3,0).

(2)∵拋物線與y軸交于點C(0,3)

設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+3(a不等于0)，根據(jù)題意，得

a-b+3=0，9a+3b+3=0

解得a=-1,b=2，

∴拋物線的解析式為y=-x2+2x+3

(3)存在；

由y=-x2+2x+3得，D點坐標(biāo)為(1,4),對稱軸為x=1

若以CD為底邊,則PD=PC,設(shè)P點坐標(biāo)為(x,y)，根據(jù)勾股定理得

x2+(3-y)2=(x-1)2+(4-y)2

即y=4-x

又點P(x,y)在拋物線上，

∴4-x=-x2+2x+3即x2-3x+1=0

解得

(舍去)

∴

∴y=4-x=

即點P坐標(biāo)為；

若以CD為一腰,因為點P在對稱軸右側(cè)的拋物線上,

由拋物線對稱性知,點P與點C關(guān)于直線x=1對稱，此時點P坐標(biāo)為(2,3)

∴符合條件的點P坐標(biāo)為或(2,3)；

(4)由B(3,0)，C(0,3)，D(1,4)，

根據(jù)勾股定理，得CB=，CD=，BD=

∴CD2+CB2=BD2=20

∴∠BCD=90°

設(shè)對稱軸交x軸于點E,過C作CM⊥DE,交拋物線于點M,垂足為F，如圖所示：

在Rt△DCF中，

∵CF=DF=1，

∴∠CDF=45°

由拋物線對稱性可知，∠CDM=2×45°=90°，點坐標(biāo)M為(2,3)

∴DM//BC

∴四邊形BCDM為直角梯形

由∠BCD=90°及題意可知以BC為一底時,頂點M在拋物線上的直角梯形只有上述一種情況；以CD為一底或以BD為一底，且頂點M在拋物線上的直角梯形均不存在.