【題目】如圖,在等腰△ABC中,∠BAC90°,ABAC1,點DBC邊上的一個動點(不與B、C重合),在AC上取一點E,使∠ADE45°

1)求證:△ABD∽△DCE

2)設BDx,AEy,求y關于x的函數(shù)關系式及自變量x的取值范圍,并求出當BD為何值時AE取得最小值?

3)在AC上是否存在點E,使△ADE是等腰三角形?若存在,求AE的長;若不存在,請說明理由.

【答案】1)見解析;

2yx2x+1;;當x時,y有最小值,最小值為;

3)在AC上存在點E,使△ADE是等腰三角形,AE的長為2

【解析】

1)由等腰直角三角形的性質可得:∠B=∠C=∠ADE45°,再根據(jù)三角形外角的性質可得:∠ADC=∠B+BAD=∠ADE+CDE,從而得出∠BAD=∠CDE,最后根據(jù)有兩組對應角相等的兩個三角形相似即可證出△ABD∽△DCE;

2)由△ABD∽△DCE,可得:,然后分別用xy表示出CDEC,代入到比例式中即可求出y關于x的函數(shù)關系式,再根據(jù)點DBC邊上的一個動點(不與B、C重合),即可求出x的取值范圍,最后根據(jù)二次函數(shù)求最值即可;

3)根據(jù)等腰三角形腰的情況分類討論:當ADDE時,可得:△ABD≌△DCE,從而可得BDCE,根據(jù)此等式列方程即可求出AE;當AEDE時,可得:△ADE為等腰直角三角形,即DEAC,由相似的性質得ADBC,根據(jù)三線合一可得DBC中點,再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得AD=DC,從而得出:E也是AC的中點,即可求出AE;ADAE時,因為∠ADE=45°,可得∠DAE90°,此時DB重合,不符合題意.

1)證明:

∵∠BAC90°,ABAC

∴∠B=∠C=∠ADE45°

∵∠ADC=∠B+BAD=∠ADE+CDE

∴∠BAD=∠CDE

∴△ABD∽△DCE;

2)由(1)得△ABD∽△DCE,

∵∠BAC90°,ABAC1,

BCCDxEC1y,

,即yx2x+1=(x2+,

∵點DBC邊上的一個動點(不與B、C重合)

0<BDBC

x時,y有最小值,最小值為;

3)當ADDE時,△ABD≌△DCE,

BDCE,

x1y,即xx2x

x≠0,

∴等式左右兩邊同時除以x得:x1,將x1代入y= x2x+1中,

AEy2,

AEDE時,

∵∠ADE=45°

∴△ADE為等腰直角三角形

DEAC

ADBC

DBC中點,

AD=DC

E也是AC的中點,

所以,AE

ADAE時,

∵∠ADE=45°

∴∠DAE90°,DB重合,不符合題意;

綜上,在AC上存在點E,使△ADE是等腰三角形,

AE的長為2

練習冊系列答案
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連接并延長BAA交于點C;

作直線PC;

則直線PC即為所求.

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(1)使用直尺和圓規(guī),補全圖形;(保留作圖痕跡)

(2)完成下面的證明:

證明: BCA的直徑,

∴∠BPC=90°(____________)(填推理的依據(jù))

OPPC

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月用水量(噸)

4

5

6

8

13

戶數(shù)

4

5

7

3

1

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)根據(jù)題意填表;

BCm

1

3

5

7

矩形ABCD面積(m2

   

   

   

   

)能夠圍成面積為100m2的矩形花園嗎?如能說明圍法,如不能,說明理由.

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