【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=x2+3x﹣a2+a+2(a>1)的圖象交x軸于點(diǎn)A和點(diǎn)B(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為E.
(1)如圖1,求線段AB的長度(用含a的式子表示)及拋物線的對稱軸;
(2)如圖2,當(dāng)拋物線的圖象經(jīng)過原點(diǎn)時,在平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)P,使得以A、B、E、P為頂點(diǎn)的四邊形能否成為平行四邊形?如果能,求出P點(diǎn)坐標(biāo);如果不能,請說明理由;
(3)如圖3,當(dāng)a=3時,若M點(diǎn)為x軸上一動點(diǎn),連結(jié)MC,將線段MC繞點(diǎn)M逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段MN,連結(jié)AC、CN、AN,則△ACN周長的最小值為多少?
【答案】(1)AB=2a﹣1,拋物線的對稱軸為x=﹣;(2)存在,P點(diǎn)坐標(biāo)為(,﹣)或(﹣,﹣)或(﹣,﹣);(3)4+4.
【解析】
(1)當(dāng)y=0時,x2+3x﹣a2+a+2=0,則[x﹣(a﹣2)][x+(a+1)]=0,解得x=a﹣2,或x=﹣a﹣1,進(jìn)而求出AB的長度和拋物線的對稱軸;
(2)由拋物線的圖象經(jīng)過原點(diǎn),a>1,得出a=2,此時A(﹣3,0),B(0,0),
E(-,﹣),①若AB為平行四邊形的邊,則P點(diǎn)坐標(biāo)為(,﹣)或(,﹣);②若AB為平行四邊形的對角線,則P點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣,﹣);
(3)當(dāng)a=3時,y=x2+3x﹣4,設(shè)M(t,0),證△MNE≌△CMF(AAS),得出MF=CF=OM=﹣t,EN=MF=OC=4,證出點(diǎn)N在直線l:y=﹣x+4上運(yùn)動,設(shè)直線l交x軸于點(diǎn)G,則G(4,0),若使△ACN的周長最小,即使AN+CN最小,作點(diǎn)A關(guān)于l的對稱點(diǎn)A',連接A'C,則AN=A'N,得出AN+CN最。A'C,求出AG=8,AA'=,AC=,由勾股定理得出A'C=,進(jìn)而得出答案.
解:(1)當(dāng)y=0時,x2+3x﹣a2+a+2=0,
∴[x﹣(a﹣2)][x+(a+1)]=0,
∴x=a﹣2,或x=﹣a﹣1,
∵點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè),
∴A(﹣a﹣1,0),B(a﹣2,0),
∴AB=a﹣2﹣(﹣a﹣1)=2a﹣1,
拋物線的對稱軸為x==﹣,即拋物線的對稱軸為x=﹣;
(2)存在,理由如下:
∵拋物線y=x2+3x﹣a2+a+2(a>1)的圖象經(jīng)過原點(diǎn),a>1,
∴﹣a2+a+2=0,
解得:a=2,或a=﹣1(舍去),
∴a=2,
∴A(﹣3,0),B(0,0),y=x2+3x=(x+)2﹣,
∴E(﹣,﹣),
分情況討論,如圖2所示:
①若AB為平行四邊形的邊,則P點(diǎn)坐標(biāo)為(,﹣)或(﹣,﹣);
②若AB為平行四邊形的對角線,則P點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣,﹣);
綜上所述,在平面內(nèi)存在一點(diǎn)P,使得以A、B、E、P為頂點(diǎn)的四邊形成為平行四邊形,P點(diǎn)坐標(biāo)為(,﹣)或(﹣,﹣)或(﹣,﹣);
(3)當(dāng)a=3時,y=x2+3x﹣4,
此時A(﹣4,0),B(1,0),C(0,﹣4),
∴OA=4,OC=4,
設(shè)M(t,0),
∵將線段MC繞點(diǎn)M逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段MN,
∴OM=﹣t,
過點(diǎn)M作EF⊥x軸,過點(diǎn)N作NE⊥EF于點(diǎn)E,過點(diǎn)C作CF⊥EF于點(diǎn)F,如圖3所示:
則∠MEN=∠CFM=90°,
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得:MN=MC,∠CMN=90°,
∴∠EMN+∠CMF=∠CMF+∠FCM=90°,
∴∠EMN=∠FCM,
在△MNE和△CMF中,
∴△MNE≌△CMF(AAS),
∴MF=CF=OM=﹣t,EN=MF=OC=4,
∴點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為Nx=4+t,點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為Ny=﹣t,
∴y=﹣x+4,
∴點(diǎn)N在直線l:y=﹣x+4上運(yùn)動,
設(shè)直線l交x軸于點(diǎn)G,則G(4,0),
若使△ACN的周長最小,即使AN+CN最小,
∴作點(diǎn)A關(guān)于l的對稱點(diǎn)A',連接A'C,A'N,
則AN=A'N,
當(dāng)A'、N、C三點(diǎn)共線時,AN+CN最。A'C,
由題意得:∠A'AO=45°,∠CAO=45°,
∴∠CAA'=90°,
∵G(4,0),
∴AG=OA+OG=8,AA'=,
∵AC==,
∴A'C==,
∴A'C+AC=+,
∵△ACN的周長=AN+CN+AC,
∴△ACN周長的最小值為A'C+AC=4+4.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某口罩加工廠有兩組工人共人,組工人每人每小時可加工口罩只,組工人每人每小時可加工口罩只,兩組工人每小時一共可加工口罩只.
(1)求兩組工人各多少人;
(2)由于疫情加重兩組工人均提高了工作效率,一名組工人和一名組工人每小時共可生產(chǎn)口罩只,若兩組工人每小時至少加工只口罩,那么組工人每人每小時至少加工多少只口罩?
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【題目】甲、乙兩地相距300千米,一輛貨車和一輛轎車先后從甲地出發(fā)駛向乙地,如圖,線段OA表示貨車離甲地距離y(千米)與時間x(小時)之間的函數(shù)關(guān)系;折線OBCDA表示轎車離甲地距離y(千米)與時間x(小時)之間的函數(shù)關(guān)系.請根據(jù)圖象解答下列問題:
(1)當(dāng)轎車剛到乙地時,此時貨車距離乙地 千米;
(2)當(dāng)轎車與貨車相遇時,求此時x的值;
(3)在兩車行駛過程中,當(dāng)轎車與貨車相距20千米時,求x的值.
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【題目】如圖1,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=4,點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn),連接DE,將△ADE繞點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn),記旋轉(zhuǎn)角為α,BD、CE所在直線相交所成的銳角為β.
(1)問題發(fā)現(xiàn)當(dāng)α=0°時,=_____;β=_____°.
(2)拓展探究
試判斷:當(dāng)0°≤α<360°時,和β的大小有無變化?請僅就圖2的情形給出證明.
(3)在△ADE旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)DE∥AC時,直接寫出此時△CBE的面積.
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【題目】在一個不透明的盒子里裝有3個分別寫有數(shù)字﹣2,0,1的小球,它們除了數(shù)字不同以外其余完全相同,先從盒子里隨機(jī)抽取1個小球,再從剩下的小球中抽取1個,將這兩個小球上的數(shù)字依次記為a,b,則滿足關(guān)于x的方程x2+ax+b=0有實(shí)數(shù)根的概率為_____.
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【題目】(1)如圖1,在△ABC中,BA=BC,D,E是AC邊上的兩點(diǎn),且滿足∠DBE=∠ABC(0°<∠CBE<∠ABC).以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心,將△BEC按逆時針方向旋轉(zhuǎn)∠ABC,得到△BE′A(點(diǎn)C與點(diǎn)A重合,點(diǎn)E到點(diǎn)E′處),連接DE′.求證:DE′=DE;
(2)如圖2,在△ABC中,BA=BC,∠ABC=90°,D,E是AC邊上的兩點(diǎn),
且滿足∠DBE=∠ABC(0°<∠CBE<45°) .求證:DE2=AD2+EC2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤中,指針位置固定,三個扇形的面積都相等,且分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3.
(1)小明轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次,當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時,指針?biāo)干刃沃械臄?shù)字是奇數(shù)的概率為 ;
(2)小明先轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次,當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時,記錄下指針?biāo)干刃沃械臄?shù)字;接著再轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次,當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時,再次記錄下指針?biāo)干刃沃械臄?shù)字,求這兩個數(shù)字之和是3的倍數(shù)的概率(用畫樹狀圖或列表等方法求解).
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【題目】以下是通過折疊正方形紙片得到等邊三角形的步驟取一張正方形的紙片進(jìn)行折疊,具體操作過程如下:
第一步:如圖,先把正方形ABCD對折,折痕為MN;
第二步:點(diǎn)E在線段MD上,將△ECD沿EC翻折,點(diǎn)D恰好落在MN上,記為點(diǎn)P,連接BP可得△BCP是等邊三角形
問題:在折疊過程中,可以得到PB=PC;依據(jù)是________________________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,方格紙中的每個小正方形邊長都是個單位長度,的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上.建立平面直角坐標(biāo)系后,點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為.
(1)先將向左平移個單位長度,再向下平移個單位長度得到(點(diǎn)、、的對應(yīng)點(diǎn)分別為、、),請在圖中畫出;
(2)再將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)后得到(點(diǎn)、、的對應(yīng)點(diǎn)分別為、、),試在圖中畫出,并直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo).
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