【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A(1,0)、B(4,0)、C(0,3)三點.

(1)求拋物線的解析式;

(2)如圖①,在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使得四邊形PAOC的周長最?若存在,求出四邊形PAOC周長的最小值;若不存在,請說明理由.

(3)如圖②,點Q是線段OB上一動點,連接BC,在線段BC上是否存在這樣的點M,使CQM為等腰三角形且BQM為直角三角形?若存在,求點M的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)y=x2x+3(2)9(3),)或(,

【解析】

試題分析:(1)把點A(1,0)、B(4,0)、C(0,3)三點的坐標代入函數(shù)解析式,利用待定系數(shù)法求解;

(2)A、B關(guān)于對稱軸對稱,連接BC,則BC與對稱軸的交點即為所求的點P,此時PA+PC=BC,四邊形PAOC的周長最小值為:OC+OA+BC;根據(jù)勾股定理求得BC,即可求得;

(3)分兩種情況分別討論,即可求得.

試題解析:(1)根據(jù)題意設(shè)拋物線的解析式為y=a(x﹣1)(x﹣4),

代入C(0,3)得3=4a

解得a=,

y=(x﹣1)(x﹣4)=x2x+3,

所以,拋物線的解析式為y=x2x+3.

(2)A、B關(guān)于對稱軸對稱,如圖1,連接BC,

BC與對稱軸的交點即為所求的點P,此時PA+PC=BC,

四邊形PAOC的周長最小值為:OC+OA+BC,

A(1,0)、B(4,0)、C(0,3),

OA=1,OC=3,BC==5,

OC+OA+BC=1+3+5=9;

在拋物線的對稱軸上存在點P,使得四邊形PAOC的周長最小,四邊形PAOC周長的最小值為9.

(3)B(4,0)、C(0,3),

直線BC的解析式為y=﹣x+3,

①當(dāng)BQM=90°時,如圖2,設(shè)M(a,b),

∵∠CMQ90°,

只能CM=MQ=b,

MQy軸,

∴△MQB∽△COB,

,

,解得b=,代入y=﹣x+3得, =﹣a+3,解得a=,

M(,);

②當(dāng)QMB=90°時,如圖3,

∵∠CMQ=90°,

只能CM=MQ,

設(shè)CM=MQ=m,

BM=5﹣m,

∵∠BMQ=COB=90°,MBQ=OBC,

∴△BMQ∽△BOC,

,解得m=,

作MNOB,

,即

MN=,CN=,

ON=OC﹣CN=3﹣=,

M(,),

綜上,在線段BC上存在這樣的點M,使CQM為等腰三角形且BQM為直角三角形,點M的坐標為(,)或(,).

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