Question

【題目】（本題滿分12分）如圖，Rt△中， ， ，點(diǎn)為斜邊的中點(diǎn)，點(diǎn)為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．連結(jié)，過(guò)點(diǎn)作的垂線與邊交于點(diǎn)，以為鄰邊作矩形．

（1）如圖1，當(dāng)，點(diǎn)在邊上時(shí)，求DE和EF的長(zhǎng)；

（2）如圖2，若，設(shè)，矩形的面積為，求y關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；

（3）若，且點(diǎn)恰好落在Rt△的邊上，求的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）； ；（2）；（3）9或12.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)勾股定理求出AB，根據(jù)相似三角形的判定定理得到△ADE∽△ACB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出DE和BG，求出EF；

（2）作DH⊥AC于H，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

（3）根據(jù)點(diǎn)G在邊BC上和點(diǎn)G在邊AB上兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答．

解：（1）∵∠ACB=90°，BC=6，AC=8，

∴AB= =10，

∵D為斜邊AB的中點(diǎn)，

∴AD=BD=5，

∵DEFG為矩形，

∴∠ADE=90°，

∴∠ADE=∠C，又∠A=∠A，

∴△ADE∽△ACB，

∴AD:AC=DE:BC，即5:8=DE:6，

解得，DE=，

∵△ADE∽△FGB，

∴AD:GF=DE:BG，

則BG=，

∴EF=DG=AB-AD-BG=；

（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)， 從而．

易得△∽△，

由， 可得， ．

所以．

∴．

（3）由題意，點(diǎn)可以在邊或者上．

①若點(diǎn)在邊上，

由，可知，于是；

②若點(diǎn)在邊上．

記，矩形邊長(zhǎng)，

由△∽△， 可得， 即，

化簡(jiǎn)可得， 因式分解后有: ， 即．

而由△∽△， 所以， 從而．

綜上知，AC的值為9或12.