Question

【題目】判定一個(gè)三角形是不是等腰三角形，我們經(jīng)常利用以下的判定方法：“如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等”，請(qǐng)你利用以上判定方法解決下列問(wèn)題

　　如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，將△ABC繞頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為β

（0°＜β＜180°），得到△A′B′C

（1）設(shè)A′B′與CB相交于點(diǎn)D，

①當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為β=25°，∠B′DB= °；

②當(dāng)AB∥CB′ 時(shí)，求證：D是A′B′ 的中點(diǎn)；

（2）如圖2，E是AC邊上的點(diǎn)，且，P是A′B′邊上的點(diǎn)，且∠A′PC=60°，連接EP、CP，已知AC=10，①當(dāng)β= °時(shí)，EP長(zhǎng)度最大，最大值為 ；

②當(dāng)β= °時(shí)，△ECP的面積最大，最大值為 。

Answer 1

【答案】（1）①55°；②詳見(jiàn)解析；（2）①當(dāng)β= 120°時(shí)，EP長(zhǎng)度最大，最大值為16；②當(dāng)β=30°時(shí)，△ECP的面積最大，最大值為30 .

【解析】試題分析：（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)前后兩個(gè)圖形全等，則∠A'B'C=∠B，∠ACA′=∠B′CB，根據(jù)三角形的外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和即可得到結(jié)論；

②根據(jù)平行的性質(zhì)證明∠BCB'=∠B'，然后證明∠A'DC=∠A'，根據(jù)等角對(duì)等邊即可證得；

（2）①∠A′PC=60°時(shí)易證△A'CP是等邊三角形，當(dāng)A、C、P在一條直線上時(shí)，EP的長(zhǎng)度最大，據(jù)此即可求解；

②由PC=10是固定不變的，故只要PC邊上的高最大即可，當(dāng)EC⊥PC時(shí)，PC邊上的高的最大值為EC， 此時(shí)∠ECP=90°，即可得到結(jié)論．

試題解析：解：（1）①∵∠ACB=∠A′CB′=90°，∴∠ACA′=∠B′CB=25°，∵∠B′=∠B=30°，∴∠B′DB=∠B′+∠B′CB=30°+25°=55°；

②∵AB∥CB′，∴∠DCB′=∠B=∠B′=30°，∴DC=DB′，

又∠DCA′=∠A′C B′-∠DCB′=90°-30°=60°=∠A′，∴DC=DA′，∴DB′=DA′（等量代換）．即D是A′B′ 的中點(diǎn)；

（2）①∵AE=AC，AC=10，∴AE=4，EC=6．∵∠A′PC=60°，∠A'=∠A=60°，∴△A'CP是等邊三角形，∴CP=CA'=10，∠A'CP=60°，∵當(dāng)A、C、P在一條直線上時(shí)，EP的長(zhǎng)度最大，即當(dāng)β=180°﹣60°=120°時(shí)，EP長(zhǎng)度最大，最大值為EC+AC=6+10=16．

②∵△A'CP是等邊三角形，∴CP=CA'=10，∠A'CP=60°．∵PC=10是固定不變的，∴只要PC邊上的高最大即可，當(dāng)EC⊥PC時(shí)，PC邊上的高的最大值為EC， 此時(shí)∠ECP=90°，∴β=90°-60°=30°，△ECP的面積=CE×PC=×6×10=30．