Question

【題目】在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，在△ABC的外部作∠ACM，使得∠ACM= ∠ABC，點(diǎn)D是直線BC上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作直線CM的垂線，垂足為E，交直線AC于F．

（1）如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，延長(zhǎng)BA，CM交點(diǎn)N，證明：DF=2EC；
（2）當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，DF和EC是否始終保持上述數(shù)量關(guān)系呢？請(qǐng)你在圖2中畫出點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到CB延長(zhǎng)線上某一點(diǎn)時(shí)的圖形，并證明此時(shí)DF與EC的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖（1），延長(zhǎng)BA，CM交點(diǎn)N，

∵∠A=90°，AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∵∠ACM= ∠ABC=22.5°，

∴∠BCM=67.5°，

∴∠BNC=67.5°=∠BCM，

∴BC=BN，

∵BE⊥CE，

∴∠ABE=22.5°，CN=2CE，

∴∠ABE=∠ACM=22.5°，

在△BAF和△CAN中， ，

∴△BAF≌△CAN（ASA），

∴BF=CN，

∴BF=2CE

（2）解：保持上述關(guān)系；BF=2CE；

證明如下：

作∠PDE=22.5，交CE的延長(zhǎng)線于P點(diǎn)，交CA的延長(zhǎng)線于N，

如圖（2）所示：

∵DE⊥PC，∠ECD=67.5，

∴∠EDC=22.5°，

∴∠PDE=∠EDC，∠NDC=45°，

∴∠DPC=67.5°，

∴PD=CD，

∴PE=EC，

∴PC=2CE，

∵∠NDC=45°，∠NCD=45°，

∴∠NCD=∠NDC，∠DNC=90°，

∴ND=NC且∠DNC=∠PNC，

在△DNF和△PNC中， ，

∴△DNF≌△PNC（ASA），

∴DF=PC，

∴DF=2CE．

【解析】（1）延長(zhǎng)BA，CM交點(diǎn)N，先證明BC=BN，得出CN=2CE，再證明△BAF≌△CAN，得出對(duì)應(yīng)邊相等BF=CN，即可得出結(jié)論；
（2）作∠PDE=22.5，交CE的延長(zhǎng)線于P點(diǎn)，交CA的延長(zhǎng)線于N，先證明PD=CD，得出PC=2CE，再證明△DNF≌△PNC，得出對(duì)應(yīng)邊相等DF=PC，即可得出結(jié)論．