【題目】已知:如圖,直線y=3x+3與x軸交于C點(diǎn),與y軸交于A點(diǎn),B點(diǎn)在x軸上,OAB是等腰直角三角形.

(1)求過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式;

(2)若直線CDAB交拋物線于D點(diǎn),求D點(diǎn)的坐標(biāo);

(3)若P點(diǎn)是拋物線上的動點(diǎn),且在第一象限,那么PAB是否有最大面積?若有,求出此時P點(diǎn)的坐標(biāo)和PAB的最大面積;若沒有,請說明理由.

【答案】(1)y=﹣x2+2x+3;(2)(4,﹣5);(3)在第一象限的拋物線上,存在一點(diǎn)P,使得ABP的面積最大;P點(diǎn)的坐標(biāo)為(,),最大值為:

【解析】

試題分析:(1)求得直線y=3x+3與坐標(biāo)軸的兩交點(diǎn)坐標(biāo),然后根據(jù)OB=OA即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法求得經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式即可;

(2)首先利用待定系數(shù)法求得直線AB的解析式,然后根據(jù)CDAB得到兩直線的k值相等,根據(jù)直線CD經(jīng)過點(diǎn)C求得直線CD的解析式,然后求得直線CD和拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)即可;

(3)本問關(guān)鍵是求出ABP的面積表達(dá)式.這個表達(dá)式是一個關(guān)于P點(diǎn)橫坐標(biāo)的二次函數(shù),利用二次函數(shù)求極值的方法可以確定P點(diǎn)的坐標(biāo).

解:(1)令y=3x+3=0得:x=﹣1,

故點(diǎn)C的坐標(biāo)為(﹣1,0);

令x=0得:y=3x+3=3×0+3=3

故點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,3);

∵△OAB是等腰直角三角形.

OB=OA=3,

點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0),

設(shè)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式y(tǒng)=ax2+bx+c,

解得:

解析式為:y=﹣x2+2x+3;

(2)設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b,

解得:

直線AB的解析式為:y=﹣x+3

線CDAB

設(shè)直線CD的解析式為y=﹣x+b

經(jīng)過點(diǎn)C(﹣1,0),

﹣(﹣1)+b=0

解得:b=﹣1,

直線CD的解析式為:y=﹣x﹣1,

令﹣x﹣1=﹣x2+2x+3,

解得:x=﹣1,或x=4,

將x=4代入y=﹣x2+2x+3=﹣16+2×4+3=﹣5,

點(diǎn)D的坐標(biāo)為:(4,﹣5);

(3)存在.如圖1所示,設(shè)P(x,y)是第一象限的拋物線上一點(diǎn),

過點(diǎn)P作PNx軸于點(diǎn)N,則ON=x,PN=y,BN=OB﹣ON=3﹣x.

SABP=S梯形PNOA+SPNB﹣SAOB

=(OA+PN)ON+PNBN﹣OAOB

=(3+y)x+y(3﹣x)﹣×3×3

=(x+y)﹣,

P(x,y)在拋物線上,y=﹣x2+2x+3,代入上式得:

SPAB=(x+y)﹣=﹣(x2﹣3x)=﹣(x﹣2+,

當(dāng)x=時,SPAB取得最大值.

當(dāng)x=時,y=﹣x2+2x+3=,

P,).

所以,在第一象限的拋物線上,存在一點(diǎn)P,使得ABP的面積最大;

P點(diǎn)的坐標(biāo)為(,),最大值為:

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】閱讀下列材料,并解決后面的問題。

材料:我們知道,n個相同的因數(shù)a相乘可記為an,如23=8,此時,3叫做以2為底8的對數(shù),記為log28(即log28=3)

一般地,若an=b (a>0a≠1,b>0),則n叫做以a為底b的對數(shù),記為logab(即logab=n).如34=81,則4叫做以3為底81的對數(shù),記為log381(即log381=4)

(1)計算以下各對數(shù)的值:log24= ,log216= ,log264= .

(2)觀察(1)中三數(shù)4、16、64之間滿足怎樣的關(guān)系式?log24、log216、log264之間又滿足怎樣的關(guān)系式?

(3)根據(jù)(2)的結(jié)果,我們可以歸納出:logaM+logaN=logaM N (a>0a≠1,M>0,N>0),請你根據(jù)冪的運(yùn)算法則:am=an+m以及對數(shù)的定義證明該結(jié)論。

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【題目】如圖,D,E,F,G,H,I是三角形ABC三邊上的點(diǎn),連結(jié)EI,EFBC, GHAC, DIAB.

(1)寫出與IEC是同旁內(nèi)角的角。

(2)判斷GHC與FEC是否相等,并說明理由。

(3)若EI平分FEC,C=56°,B=50°,求EID的度數(shù)。

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】ABC中,AB=AC.

(1)如圖1,如果BAD=30°,AD是BC上的高,AD=AE,則EDC=

(2)如圖2,如果BAD=40°,AD是BC上的高,AD=AE,則EDC=

(3)思考:通過以上兩題,你發(fā)現(xiàn)BADEDC之間有什么關(guān)系?請用式子表示:

(4)如圖3,如果AD不是BC上的高,AD=AE,是否仍有上述關(guān)系?如有,請你寫出來,并說明理由.

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【題目】ABC中,AB=6cm,AC=12cm,動點(diǎn)D以1cm/s 的速度從點(diǎn)A出發(fā)到點(diǎn)B止,動點(diǎn)E以2cm/s 的速度從點(diǎn)C出發(fā)到點(diǎn)A止,且兩點(diǎn)同時運(yùn)動,當(dāng)以點(diǎn)A、D、E為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似時,求運(yùn)動的時間t.

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【題目】李大叔想用籬笆圍成一個周長為80米的矩形場地,矩形面積S(單位:平方米)隨矩形一邊長x(單位:米)的變化而變化.

(1)求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍;

(2)當(dāng)x是多少時,矩形場地面積S最大?最大面積是多少?

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【題目】已知關(guān)于x的方程:mx+2=2(m-x)的解滿足│x│-1=0,m的值是( )

A. 2 B. 4 C. 2或0 D. 4或0

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【題目】全班同學(xué)去春游,準(zhǔn)備租船游玩,如果比計劃減少一條船,則每條船正好坐9個同學(xué),如果比計劃增加一條船,每條船正好坐6個同學(xué),則這個班有_____個同學(xué),計劃租用_____條船。

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【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為4cm,動點(diǎn)P、Q同時從點(diǎn)A出發(fā),以1cm/s的速度分別沿A→B→C和A→D→C的路徑向點(diǎn)C運(yùn)動,設(shè)運(yùn)動時間為x(單位:s),四邊形PBDQ的面積為y(單位:cm2),則y與x(0≤x≤8)之間函數(shù)關(guān)系可以用圖象表示為( )

A. B.

C. D.

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