【題目】如圖,四邊形ABCD是矩形,點(diǎn)P是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)(不與A、C 重合),連接PB,過點(diǎn)P作PE⊥PB,交射線DC于點(diǎn)E,已知AD=3,sin∠BAC=.設(shè)AP的長為x.
(1)AB等于多少;當(dāng)x=1時(shí),等于多少;
(2)①試探究: 否是定值?若是,請(qǐng)求出這個(gè)值;若不是,請(qǐng)說明理由;
②連接BE,設(shè)△PBE的面積為S,求S的最小值.
【答案】(1) 4, ;(2)①是定值,;②
【解析】
(1)作PM⊥AB于M交CD于N.由△BMP∽△PNE,推出 ,只要求出PN、BM即可求解;
(2)①結(jié)論:的值為定值.證明方法類似(1);
②利用勾股定理求出PB2,根據(jù)三角形的面積公式,利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題.
解:(1)作PM⊥AB于M交CD于N.
∵四邊形ABCD是矩形,
∴BC=AD=3,∠ABC=90°,
∴AC= =5,AB= =4.
在Rt△APM中,PA=1,PM= ,AM= ,
∴BM=AB-AM= ,
∵MN=AD=3,
∴PN=MN-PM= ,
∵∠PMB=∠PNE=∠BPE=90°,
∴∠BPM+∠EPN=90°,∠EPN+∠PEN=90°,
∴∠BPM=∠PEN,
∴△BMP∽△PNE,
∴ ,
故答案為4, ;
(2)①結(jié)論: 的值為定值.
理由:由PA=x,可得PM=x.AM=x,BM=4-x,PN=3-x,
∵△BMP∽△PNE,
∴ ;
②在Rt△PBM中,PB2=BM2+PM2=(4-x)2+(x)2=x2-x+16,
∵,
∴PE=PB,
∴S=PBPE=PB2=(x2-x+16)=(x-)2+ ,
∵0<x<5,
∴x=時(shí),S有最小值=.
故答案為:(1)4, ;(2)①是定值,②x=時(shí), =.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知是關(guān)于x的拋物線解析式.
求證:拋物線與x軸一定有兩個(gè)交點(diǎn);
點(diǎn)、、是拋物線上的三個(gè)點(diǎn),當(dāng)拋物線經(jīng)過原點(diǎn)時(shí),判斷、、的大小關(guān)系.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對(duì)稱軸為直線x=﹣1,且拋物線經(jīng)過A(1,0),C(0,3)兩點(diǎn),與x軸交于點(diǎn)B.
(1)若直線y=mx+n經(jīng)過B、C兩點(diǎn),求直線BC和拋物線的解析式;
(2)在拋物線的對(duì)稱軸x=﹣1上找一點(diǎn)M,使點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3)設(shè)點(diǎn)P為拋物線的對(duì)稱軸x=﹣1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求使△BPC為直角三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,放置在水平桌面上的臺(tái)燈燈臂AB長為42cm,燈罩BC長為32cm,底座厚度為2cm,燈臂與底座構(gòu)成的∠BAD=60°.使用發(fā)現(xiàn),光線最佳時(shí)燈罩BC與水平線所成的角為30°,此時(shí)燈罩頂端C到桌面的高度CE是多少cm?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了傳承中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化,某校組織了一次八年級(jí)350名學(xué)生參加的“漢字聽寫”大賽,賽后發(fā)現(xiàn)所有參賽學(xué)生的成績均不低于50分.為了更好地了解本次大賽的成績分布情況,隨機(jī)抽取了其中若干名學(xué)生的成績(成績取整數(shù),總分100分)作為樣本進(jìn)行整理,得到下列不完整的統(tǒng)計(jì)圖表:
成績x/分 | 頻數(shù) | 頻率 |
50≤x<60 | 2 | 0.04 |
60≤x<70 | 6 | 0.12 |
70≤x<80 | 9 | |
80≤x<90 | 0.36 | |
90≤x≤100 | 15 | 0.30 |
請(qǐng)根據(jù)所給信息,解答下列問題:
(1)a等于多少,b等于多少;
(2)請(qǐng)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;
(3)這次比賽成績的中位數(shù)會(huì)落在哪個(gè)分?jǐn)?shù)段;
(4)若成績?cè)?/span>90分以上(包括90分)的為“優(yōu)”等,則該年級(jí)參加這次比賽的350名學(xué)生中成績“優(yōu)”等的約有多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知如圖,以Rt△ABC的AC邊為直徑作⊙O交斜邊AB于點(diǎn)E,連接EO并延長交BC的延長線于點(diǎn)D,作OF∥AB交BC于點(diǎn)F,連接EF.
(1)求證:OF⊥CE;
(2)求證:EF是⊙O的切線;
(3)若⊙O的半徑為3,∠EAC=60°,求CD的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,將對(duì)角線AC繞對(duì)角線交點(diǎn)O旋轉(zhuǎn),分別交邊AD、BC于點(diǎn)E、F,點(diǎn)P是邊DC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且保持DP=AE,連接PE、PF,設(shè)AE=x(0<x<3).
(1)填空:PC= ,FC= 。(用含x的代數(shù)式表示)
(2)求△PEF面積的最小值;
(3)在運(yùn)動(dòng)過程中,PE⊥PF是否成立?若成立,求出x的值;若不成立,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在每個(gè)小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中,點(diǎn)A,B,C均在格點(diǎn)上。
(I)AB的長度等于
(II)請(qǐng)你在圖中找到一個(gè)點(diǎn)P,使得AB是∠PAC的角平分線請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的網(wǎng)格中,用無刻度的直尺,畫出點(diǎn)P,并簡要說明點(diǎn)P的位置是如何找到的(不要求證明)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知直線AC的表達(dá)式為y=x+8,點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AO向點(diǎn)O以1個(gè)單位/s的速度移動(dòng),點(diǎn)Q從點(diǎn)O開始沿OC向點(diǎn)C以2個(gè)單位/s的速度移動(dòng).如果P,Q兩點(diǎn)分別從點(diǎn)A,O同時(shí)出發(fā),經(jīng)過幾秒能使△PQO的面積為8個(gè)平方單位?
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