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14.【觀察發(fā)現(xiàn)】(1)如圖1,四邊形ABCD和四邊形AEFG都是正方形,且點E在邊AB上,連接DE和BG,猜想線段DE與BG的數(shù)量關系和位置關系.(只要求寫出結(jié)論,不必說出理由)
【深入探究】(2)如圖2,將圖1中正方形AEFG繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)一定的角度,其他條件與觀察發(fā)現(xiàn)中的條件相同,觀察發(fā)現(xiàn)中的結(jié)論是否還成立?請根據(jù)圖2加以說明.
【拓展應用】(3)如圖3,直線l上有兩個動點A、B,直線l外有一點動點Q,連接QA,QB,以線段AB為邊在l的另一側(cè)作正方形ABCD,連接QD.隨著動點A、B的移動,線段QD的長也會發(fā)生變化,若QA,QB長分別為32,6保持不變,在變化過程中,線段QD的長是否存在最大值?若存在,求出這個最大值;若不存在,請說明理由.

分析 (1)根據(jù)正方形的性質(zhì),由SAS證明△BAG≌△DAE,得出DE=BG,∠ABG=∠ADE,再由角的互余關系證出DE⊥BG即可;
(2)同(1)證明△BAG≌△DAE,從而證明結(jié)論;
(3)以OA為邊作正方形QAGF,連接QG、BG,則QC=2OA=4,當G、Q、B三點共線時,BG最長,此時BC=QC+QB=8,從而得出答案.

解答 (1)解:DE=BG,DE⊥BG;理由如下:
延長DE交BG于H,如圖1所示:
∵四邊形ABCD、四邊形AEFG都是正方形,
∴AB=AD,AG=AE,∠EAD=∠BAG=90°,
在△BAG與△DAE中,{AB=ADBAG=EADAG=AE,
∴△BAG≌△DAE(SAS),
∴DE=BG,∠ABG=∠ADE,
∵∠AGB+∠ABG=90°,
∴∠AGB+∠ADE=90°,
∴∠DHG=90°,
∴DE⊥BG;
(2)解:(1)中的結(jié)論成立,即DE=BG,DE⊥BG;
理由如下:如圖2所示,
∵四邊形ABCD、四邊形AEFG都是正方形,
∴BA=AD,AG=AE,∠BAD=∠EAG=90°,
∴∠BAG+∠BAE=∠EAG+∠BAE,
即∠BAG=∠DAE,在△BAG與△DAE中,{AB=ADBAG=EADAG=AE,
∴△BAG≌△DAE(SAS),
∴DE=BG,∠ABG=∠ADE
∵∠AMD+∠ADE=90°,∠AMD=∠BME,
∴∠BME+∠ABG=90°,
∴∠DNB=90°,
∴DE⊥BG;
(3)解:QD存在最大值;理由如下:
以QA為邊作正方形QAGF,連接QG、BG,如圖3所示:
則QG=2QA=4,
由(2)可得:QD=BG,
當G、Q、B三點共線時,BG最長,
此時BC=QG+QB=4+4=8,
即線段QD長的最大值為8.

點評 本題是四邊形綜合題目,考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、角的互余關系、對頂角相等、三點共線等知識;本題綜合性強,證明三角形全等是解決問題的關鍵.

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