Question

14．【觀察發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，四邊形ABCD和四邊形AEFG都是正方形，且點(diǎn)E在邊AB上，連接DE和BG，猜想線段DE與BG的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．（只要求寫(xiě)出結(jié)論，不必說(shuō)出理由）
【深入探究】（2）如圖2，將圖1中正方形AEFG繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，其他條件與觀察發(fā)現(xiàn)中的條件相同，觀察發(fā)現(xiàn)中的結(jié)論是否還成立？請(qǐng)根據(jù)圖2加以說(shuō)明．
【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，直線l上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)A、B，直線l外有一點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)Q，連接QA，QB，以線段AB為邊在l的另一側(cè)作正方形ABCD，連接QD．隨著動(dòng)點(diǎn)A、B的移動(dòng)，線段QD的長(zhǎng)也會(huì)發(fā)生變化，若QA，QB長(zhǎng)分別為$3\sqrt{2}$，6保持不變，在變化過(guò)程中，線段QD的長(zhǎng)是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，由SAS證明△BAG≌△DAE，得出DE=BG，∠ABG=∠ADE，再由角的互余關(guān)系證出DE⊥BG即可；
（2）同（1）證明△BAG≌△DAE，從而證明結(jié)論；
（3）以O(shè)A為邊作正方形QAGF，連接QG、BG，則QC=$\sqrt{2}$OA=4，當(dāng)G、Q、B三點(diǎn)共線時(shí)，BG最長(zhǎng)，此時(shí)BC=QC+QB=8，從而得出答案．

解答 （1）解：DE=BG，DE⊥BG；理由如下：
延長(zhǎng)DE交BG于H，如圖1所示：
∵四邊形ABCD、四邊形AEFG都是正方形，
∴AB=AD，AG=AE，∠EAD=∠BAG=90°，
在△BAG與△DAE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}&{\;}\\{∠BAG=∠EAD}&{\;}\\{AG=AE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BAG≌△DAE（SAS），
∴DE=BG，∠ABG=∠ADE，
∵∠AGB+∠ABG=90°，
∴∠AGB+∠ADE=90°，
∴∠DHG=90°，
∴DE⊥BG；
（2）解：（1）中的結(jié)論成立，即DE=BG，DE⊥BG；
理由如下：如圖2所示，
∵四邊形ABCD、四邊形AEFG都是正方形，
∴BA=AD，AG=AE，∠BAD=∠EAG=90°，
∴∠BAG+∠BAE=∠EAG+∠BAE，
即∠BAG=∠DAE，在△BAG與△DAE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}&{\;}\\{∠BAG=∠EAD}&{\;}\\{AG=AE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BAG≌△DAE（SAS），
∴DE=BG，∠ABG=∠ADE
∵∠AMD+∠ADE=90°，∠AMD=∠BME，
∴∠BME+∠ABG=90°，
∴∠DNB=90°，
∴DE⊥BG；
（3）解：QD存在最大值；理由如下：
以QA為邊作正方形QAGF，連接QG、BG，如圖3所示：
則QG=$\sqrt{2}$QA=4，
由（2）可得：QD=BG，
當(dāng)G、Q、B三點(diǎn)共線時(shí)，BG最長(zhǎng)，
此時(shí)BC=QG+QB=4+4=8，
即線段QD長(zhǎng)的最大值為8．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、角的互余關(guān)系、對(duì)頂角相等、三點(diǎn)共線等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．