Question

10．如圖，ABCD是平行四邊形，E、F是對角線AC上的兩點(diǎn)，若∠ABF=∠CDE=90°．
（1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形；
（2）若AB=AD=8，BF=6，求AE的長．

Answer 1

分析 （1）由平行四邊形的性質(zhì)得出AB=CD，AB∥CD，證出∠BAC=∠DCA，由ASA證明△ABF≌△CDE，得出BF=DE，∠AFB=∠CED，證出BF∥DE，即可得出結(jié)論；
（2）連接BD交AC于G，證明四邊形ABCD是菱形，得出AC⊥BD，證出四邊形BEDF是菱形，得出BE=BF=6，由勾股定理求出AF，由三角形的面積關(guān)系求出BG，再由勾股定理求出EG，即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠BAC=∠DCA，
在△ABF和△CDE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAC=∠DCA}&{\;}\\{AB=CD}&{\;}\\{∠ABF=∠CDE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CDE（ASA），
∴BF=DE，∠AFB=∠CED
∴BF∥DE，
∴四邊形BEDF是平行四邊形；
（2）解：連接BD交AC于G，如圖所示：
∵AB=AD，
∴四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴四邊形BEDF是菱形，
∴BE=BF=6，EG=FG，
∵∠ABF=90°，AB=AD=8，BF=6，
∴AF=$\sqrt{A{B}^{2}+B{F}^{2}}$=10，
∵△ABF的面積=$\frac{1}{2}$AF•BG=$\frac{1}{2}$AB×BF，
∴BG=$\frac{AB×BF}{AF}$=$\frac{24}{5}$，
∴EG=$\sqrt{B{E}^{2}-B{G}^{2}}$=$\frac{18}{5}$，
∴AE=AF-2EG=10-2×$\frac{18}{5}$=$\frac{14}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．