Question

【題目】已知拋物線：=（為任意實數(shù)）

（1）無論取何值，拋物線恒過兩點________，________．

（2）當時，設拋物線在第一象限依次經過整數(shù)點（橫、縱坐標均為整數(shù)的點）為，…．將拋物線沿直線平移，平移后的拋物線記為，拋物線經過點，的頂點為（，例如時，拋物線經過點，頂點為）

①拋物線的解析式為________；頂點坐標為________；

②在拋物線上是否存在點，使得？若存在，求出點的坐標，并判斷四邊形的形狀；若不存在，請說明理由．

③直接寫出線段的長________．

Answer 1

【答案】（1），；（2）①，；②存在，點坐標為；是矩形；③

【解析】

（1）由拋物線C的解析式，令的系數(shù)為0，得出的值，進而求出拋物線恒過的點的坐標；

（2）①當時，拋物線C可化簡為，根據(jù)題意，格點(2,4)，根據(jù)拋物線平移的性質，可設平移后的拋物線為（m＞0），將(2,4)代入，即可得解；

②用待定系數(shù)法求出拋物線和直線解析式，假設存在點，使得，求出直線，聯(lián)立直線和拋物線，即可求出P點坐標；根據(jù)兩點間距離公式求出和，再結合勾股定理逆定理求出∠=90°，即可判定四邊形為矩形；

③由題意可設，將其代入平移后的拋物線（m＞0），求出m=2n-1，于是，同理得出，由兩點間距離公式即可得解．

（1）=

令，

解得或

將代入拋物線C的解析式，得，

將代入拋物線C的解析式，得，

∴無論取何值，拋物線恒過兩點，，

故答案為，；

（2）①當時，拋物線C：，

根據(jù)題意，A1(1,1)，A2(2,4)，

設平移后的拋物線為（m＞0），

代入A2(2,4)，得拋物線C2：

解得，m=0（舍）或m=3

∴拋物線的解析式為，頂點坐標為(3,3)．

故答案為：，；

②將A1(1,1)代入（m＞0），

得

解得，m=0（舍）或m=1

∴拋物線：，頂點坐標

設直線的解析式為：

分別將A2(2,4)和M2(3,3)代入得

，解得

∴直線：

假設存在點，使得，

設直線為，

將代入得，解得：t=2，

所以直線：

聯(lián)立，

解得或（此點為M1）

∴存在點，使得，點坐標為；

∵，，

∴=，

又，

∴四邊形是平行四邊形，

又∵，，，

∴

∴∠=90°，

∴四邊形是矩形；

③設，將其代入平移后的拋物線（m＞0），

解得m=2n-1，于是，

同理可得：，

∴，

故答案為：．