【題目】如圖,在RtΔABC,∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm,動點M、N從點C同時出發(fā),均以每秒1cm的速度分別沿CA、CB向終點A、B移動,同時動點P從點B出發(fā),以每秒2cm的速度沿BA向終點A移動,連接PMPN,MN,設移動時間為t(單位:秒,0<t<2.5).

(1)當t為何值時,ΔMCN面積為2cm?

(2)是否存在某一時刻t,使四邊形APNC的面積為cm?若存在,求t的值,若不存在,請說明理由;

(3)當t為何值時,以AP、M為頂點的三角形與△ABC相似?

【答案】(1)2 (2)存在;1.5 (3)1.5

【解析】

1)由題意可知CNCMt,再用含t的式子表示出三角形CMN的面積,再列方程即可求解;

2)先根據(jù)勾股定理求出AB的長,過點PPDBC于點D,構造平行線PDAC,由平行線分線段成比例求得以t表示的PD的值,再根據(jù)“S四邊形APNC=SABC-SBPN”列出St的關系式,根據(jù)其面積等于,列方程求解,再將解進行檢驗即可得出結果.

3)分類討論:△AMP∽△ABC和△APM∽△ABC兩種情況.利用相似三角形的對應邊成比例來求t的值;

解:(1)由題意可知CNCMt,

SMCNCMCN,

,

解得t2t=﹣2(舍去),

∴當t的值為2時,△MCN的面積為2cm2

2)存在,理由如下:

如圖1,過PPDBC于點D,則PDAC,

∴△PBD∽△ABC

,

由題意可知AC4cm,BC3cm,

AB5cm,且BP2tcm,

,解得PDcm,

CNt

BN3t,

SPBNBNPD3t)×,

SABCACBC×4×36,

S四邊形APNCSABCSPBN6﹣()=,

S四邊形APNC可得,即,解得,

∴當t1.5時,四邊形APNC的面積為cm2;

3)由(2)可知AP52t,AM4t,

∵△APM和△ABC中滿足∠A=∠A,

∴由△APM和△ABC相似分兩種情況,即△APM∽△ABC和△AMP∽△ABC,

當△APM∽△ABC時,則有,即,解得t0,不符合題意;

當△AMP∽△ABC時,則有,即,解得t1.5,

∴當t的值為1.5時,滿足△APM和△ABC相似.

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1 ;

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②當半圓兩點時,若的長為,求此時半圓與正方形重疊部分的面積;

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B

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4

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拋物線的解析式為________;頂點坐標為________;

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直接寫出線段的長________

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