Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，點(diǎn)E是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，將矩形ABCD沿BE折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，連接A′C、BD．

（1）如圖1，若點(diǎn)A′恰好落在BD上，求tan∠ABE的值；

（2）如圖2，已知AE=2，求△A′CB的面積；

（3）點(diǎn)E在AD邊上運(yùn)動(dòng)的過程中，∠A′CB的度數(shù)是否存在最大值，若存在，求出此時(shí)線段AE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）19.2；（3）.

【解析】

（1）先根據(jù)勾股定理得，BD＝10，最后用勾股定理建立方程求解即可得出結(jié)論；

（2）過點(diǎn)A’作FH⊥AD，A’G⊥AB，設(shè)A’F=x，證明△FEA’∽GBA’，列出比例式求出x的值，然后求出A’H，代入三角形面積公式進(jìn)行計(jì)算；

（3）先判斷出∠A'CB最大時(shí)，點(diǎn)A'在CE上，進(jìn)而利用三角形的面積求出CE，進(jìn)而用勾股定理求出DE，即可得出結(jié)論．

解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A＝90°，AD＝BC＝8，

在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理得，BD＝10，

設(shè)AE＝x，

∴DE＝ADAE＝8x，

由折疊知，A'E＝AE＝x，A'B＝AB＝6，∠BA'E＝∠A＝90°，

∴A'D＝BDA'B＝4，

∴∠DA'E＝90°，

在Rt△DA'E中，根據(jù)勾股定理得，DE2A'E2＝A'D2＝16，

∴（8x）2x2＝16，

∴x＝3，

∴AE＝3，

在Rt△ABE中，tan∠ABE＝；

（2）在四邊形ABA’E中，∠ABA’=180°-∠AEA’，而∠DEA’=180°-∠AEA’，

∴∠ABA’=∠DEA’，

如圖1，過點(diǎn)A’作FH⊥AD，A’G⊥AB，設(shè)A’F=x，則EF=，

則FH⊥BC，△FEA’∽GBA’，

∴，即，

解得：，

∴A’H=，

∴S△A′CB=

（3）∠A′CB的度數(shù)存在最大值，

理由：如圖2，過點(diǎn)B作BF⊥CA'交CA'的延長(zhǎng)線于F，

在Rt△BFC中，sin∠A'CB＝，

∴BF越大時(shí)，sin∠A'CB越大，即∠A'CB越大，

當(dāng)點(diǎn)E在邊AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)A'與F重合時(shí)，BF最大＝A'B＝AB＝6，

∴A'B⊥A'C，

∴∠BA'C＝90°，

由折疊知，∠BA'E＝∠A＝∠D＝90°，

∴點(diǎn)A'在CE上，如圖3，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠D＝∠A＝90°，CD＝AB＝6，

根據(jù)三角形面積得，Sspan>△BCE＝BCAB＝CEA'B，

∵A'B＝AB，

∴CE＝BC＝8，

在Rt△CDE中，根據(jù)勾股定理DE＝，

∴AE＝ADDE＝8.