Question

【題目】直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，菱形ABCD如圖放置在平面直角坐標(biāo)系中，其中點(diǎn)D在x軸負(fù)半軸上，直線y=x+m經(jīng)過點(diǎn)C，交x軸于點(diǎn)E．

①請直接寫出點(diǎn)C、點(diǎn)D的坐標(biāo)，并求出m的值；

②點(diǎn)P（0，t）是線段OB上的一個動點(diǎn)（點(diǎn)P不與O、B重合），經(jīng)過點(diǎn)P且平行于x軸的直線交AB于M、交CE于N．設(shè)線段MN的長度為d，求d與t之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫自變量的取值范圍）；

③點(diǎn)P（0，t）是y軸正半軸上的一個動點(diǎn)，為何值時點(diǎn)P、C、D恰好能組成一個等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）m=9；（2）；（3）t=4，或t=，t=時，△PCD均為等腰三角形.

【解析】

試題（1）由直線的解析式可求出A和B點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)菱形的性質(zhì)即可求出點(diǎn)C、點(diǎn)D的坐標(biāo)，把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入直線y=x+m即可求出m的值；

（2）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（xM，t），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（xN，t），首先求出xM=﹣t+3，再求出xN=t﹣9，進(jìn)而得到d=xM﹣xN=﹣t+3﹣（t﹣9）=﹣t+12；

（3）由A和B的坐標(biāo)可求出AB的長，再分三種情況分別討論求出符合題意的t值即可．

試題解析：（1）∵直線y=﹣x+4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0）點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4），

∵四邊形ABCD是菱形，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣5，4），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣2，0），

∵直線y=x+m經(jīng)過點(diǎn)C，

∴m=9，

（2）∵MN 經(jīng)過點(diǎn)P（0，t）且平行于x軸，

∴可設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（xM，t），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（xN，t），

∵點(diǎn)M在直線AB上，

直線AB的解析式為y=﹣x+4，

∴t=，得xM=﹣t+3，

同理點(diǎn)N在直線CE上，直線CE的解析式為y=x+9，

∴t=xN+9，得xN=t﹣9，

∵MN∥x軸且線段MN的長度為d，

∴d=xM﹣xN=﹣t+3﹣（t﹣9）=﹣t+12；

（3）∵直線AB的解析式為y=﹣x+4，

∴點(diǎn)A 的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4），AB=5，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD=5，

∴點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)B時，△PCD即為△BCD是一個等腰三角形，此時=4；

∵點(diǎn)P（0，t）是y軸正半軸上的一個動點(diǎn)，

∴OP=t，PB=|t﹣4|，

∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣2，0），

∴OD=2，由勾股定理得PD2=OD2+OP2=4+t2，

同理，CP2=BC2+BP2=25+（t﹣4）2，

當(dāng)PD=CD=5時，PD2=4+t2=25，

∴t=（舍負(fù)），

當(dāng)PD=CP時，PD2=CP2，4+t2=25+（t﹣4）2，

∴t=，

綜上所述，t=4，或t=，t=時，△PCD均為等腰三角形．