【題目】如圖,在△ABC中,∠ABC=90°,以AB的中點(diǎn)O為圓心,OA為半徑的圓交AC于點(diǎn)D,E是BC的中點(diǎn),連接DE,OE.
(1)判斷DE與⊙O的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(2)求證:BC2=2CDOE;
(3)若,求OE的長(zhǎng).
【答案】(1)DE為⊙O的切線,理由見解析
(2)證明見解析
(3)OE=
【解析】試題分析:(1)連接OD,BD,由直徑所對(duì)的圓周角是直角得到∠ADB為直角,可得出△BCD為直角三角形,E為斜邊BC的中點(diǎn),由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,得到CE=DE,從而得∠C=∠CDE,再由OA=OD,得∠A=∠ADO,由Rt△ABC中兩銳角互余,從而可得∠ADO與∠CDE互余,可得出∠ODE為直角,即DE垂直于半徑OD,可得出DE為⊙O的切線;
(2)由已知可得OE是△ABC的中位線,從而有AC=2OE,再由∠C=∠C,∠ABC=∠BDC,可得△ABC∽△BDC,根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等,即可證得;
(3)在直角△ABC中,利用勾股定理求得AC的長(zhǎng),根據(jù)三角形中位線定理OE的長(zhǎng)即可求得.
試題解析:(1)DE為⊙O的切線,理由如下:
連接OD,BD,
∵AB為⊙O的直徑,
∴∠ADB=90°,
在Rt△BDC中,E為斜邊BC的中點(diǎn),
∴CE=DE=BE=BC,
∴∠C=∠CDE,
∵OA=OD,
∴∠A=∠ADO,
∵∠ABC=90°,
∴∠C+∠A=90°,
∴∠ADO+∠CDE=90°,
∴∠ODE=90°,
∴DE⊥OD,又OD為圓的半徑,
∴DE為⊙O的切線;
(2)∵E是BC的中點(diǎn),O點(diǎn)是AB的中點(diǎn),
∴OE是△ABC的中位線,
∴AC=2OE,
∵∠C=∠C,∠ABC=∠BDC,
∴△ABC∽△BDC,
∴,即BC2=ACCD.
∴BC2=2CDOE;
(3)解:∵cos∠BAD=,
∴sin∠BAC=,
又∵BE=,E是BC的中點(diǎn),即BC=,
∴AC=.
又∵AC=2OE,
∴OE=AC=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】計(jì)算:
(1)﹣82+72÷36
(2)2 × ÷(﹣9+19)
(3)( ﹣ + )×(﹣36)
(4)1 × ﹣(﹣ )×2 +(﹣ )÷1
(5)﹣13﹣(1﹣0.5)× ×[2﹣(﹣3)2].
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,Rt△ABO的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸上,O為坐標(biāo)原點(diǎn),A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(,0)、(0,4),拋物線經(jīng)過(guò)B點(diǎn),且頂點(diǎn)在直線上.
(1)求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若△DCE是由△ABO沿x軸向右平移得到的,當(dāng)四邊形ABCD是菱形時(shí),試判斷點(diǎn)C和點(diǎn)D是否在該拋物線上,并說(shuō)明理由;
(3)若M點(diǎn)是CD所在直線下方該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M作MN平行于y軸交CD于點(diǎn)N.設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為t,MN的長(zhǎng)度為l.求l與t之間的函數(shù)關(guān)系式,并求l取最大值時(shí),點(diǎn)M的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在邊長(zhǎng)為a cm的正方形內(nèi),截去兩個(gè)以正方形的邊長(zhǎng)a cm為直徑的半圓,(結(jié)果保留π)
(1)圖中陰影部分的周長(zhǎng)為cm.
(2)圖中陰影部分的面積為cm2 .
(3)當(dāng)a=4時(shí),求出陰影部分的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如果△ABC的邊BC的垂直平分線經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)A,與BC相交于點(diǎn)D,且AB=2AD,則△ABC中,最大一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為度.
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