Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)原點(diǎn)為O，A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0），以AB的中點(diǎn)P為圓心，AB為直徑作⊙P的正半軸交于點(diǎn)C．

（1）求經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線(xiàn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；

（2）設(shè)M為（1）中拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，求直線(xiàn)MC對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；

（3）試說(shuō)明直線(xiàn)MC與⊙P的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

（1）y=-x²+x+2，（2）.（3）MC與⊙P的位置關(guān)系是相切．證明見(jiàn)解析.

【解析】 （1）連接PC，

∵A（4，0），B（-1，0），∴AB=5，半徑PC=PB=PA=，∴OP=-1=，

在△CPO中，由勾股定理得：OC=,∴C（0，2），

設(shè)經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)拋物線(xiàn)解析式是y=a（x-4）（x+1），

把C（0，2）代入得：2=a（0-4）（0+1），∴a=-，

∴y=-（x-4）（x+1）=-x²+x+2，

（2）y=-x²+x+2=-（x-）²+，M（，），

設(shè)直線(xiàn)MC對(duì)應(yīng)函數(shù)表達(dá)式是y=kx+b，把C（0，2），M（，）代入得：

，解得：，∴.

（3）MC與⊙P的位置關(guān)系是相切．

設(shè)直線(xiàn)MC交x軸于D，當(dāng)y=0時(shí)，，∴x=-，OD=，

∴D（-，0），在△COD中，由勾股定理得：CD²=2²+（）²=，

PC²=（）²=，PD²=（+-1）²=，∴CD²+PC²=PD²，∴∠PCD=90°，

∴PC⊥DC，∵PC為半徑，∴MC與⊙P的位置關(guān)系是相切．