【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線 y=ax2﹣5ax+c 交 x 軸于點 A,點 A 的坐標(biāo)為(4,0).
(1)用含 a 的代數(shù)式表示 c.
(2)當(dāng) a=時,求 x 為何值時 y 取得最小值,并求出 y 的最小值.
(3)當(dāng) a=時,求 0≤x≤6 時 y 的取值范圍.
(4)已知點 B 的坐標(biāo)為(0,3),當(dāng)拋物線的頂點落在△AOB 外接圓內(nèi)部時,直接寫出 a的取值范圍.
【答案】(1)c=4a;(2)當(dāng) x=時,y 取得最小值,最小值為﹣;(3)當(dāng) 0≤x≤6 時,y 的取值范圍是﹣5≤y≤;(4)-﹣<a<﹣+且 a≠0.
【解析】
(1)由拋物線和x軸的交點A的坐標(biāo)代入即可求出
(2)已知a的值可求出c的值,從而可以求出拋物線的解析式;再把拋物線的解析式用配方法表示出來,根據(jù)拋物線的性質(zhì)特點求出
(3)已知a的值求出b,從而求出拋物線的解析式;把拋物線用配方法表示出來根據(jù)其性質(zhì)可求出y的取值范圍
(4)把拋物線的解析式用配方法表示出來求出其對稱軸和定點坐標(biāo),根據(jù)題意作出圓在進行分析解答
(1)將 A(4,0)代入 y=ax2﹣5ax+c,得:16a﹣20a+c=0,解得:c=4a.
(2)當(dāng) a=時,c=2,
∴拋物線的解析式為 y= x2﹣ x+2=(x﹣)2﹣ .
∵a= >0,
∴當(dāng) x=時,y 取得最小值,最小值為﹣.
(3)當(dāng) a=﹣時,c=﹣2,
∴拋物線的解析式為 y=﹣x2+ x﹣2=﹣(x﹣ )2+ .
∵a=﹣ <0,
∴當(dāng) x= 時,y 取得最大值,最大值為 ; 當(dāng) x=0 時,y=﹣2;
當(dāng) x=6 時,y=﹣×62+ ×6﹣2=﹣5.
∴當(dāng) 0≤x≤6 時,y 的取值范圍是﹣5≤y≤ .
(4)∵拋物線的解析式為 y=ax2﹣5ax+4a=a(x﹣ )2﹣ a,
∴拋物線的對稱軸為直線 x= ,頂點坐標(biāo)為( ,﹣a).
設(shè)線段 AB 的中點為 O,以 AB 為直徑作圓,設(shè)拋物線對稱軸與⊙O 交于點 C,D,過點 O
作 OH⊥CD 于點 H,如圖所示.
∵點 A 的坐標(biāo)為(4,0),點 B 的坐標(biāo)(0,3),
∴AB=5,點 O 的坐標(biāo)為(2,),點 H 的坐標(biāo)為(,).在 Rt△COH 中,
OC=AB= ,OH= ,
∴CH= ,
∴點 C 的坐標(biāo)為(,).
同理:點 D 的坐標(biāo)為(,﹣),
∴ ,
解得:﹣- <a<﹣+ 且 a≠0.
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【題目】如圖是一座人行天橋的示意圖,天橋的高度是10米,CB⊥DB,坡面AC的傾斜角為45°.為了方便行人推車過天橋,市政部門決定降低坡度,使新坡面DC的坡度為i=:3.若新坡角下需留3米寬的人行道,問離原坡角(A點處)10米的建筑物是否需要拆除?(參考數(shù)據(jù): ≈1.414, ≈1.732)
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【題目】用一段長32m的籬笆和長8m的墻,圍成一個矩形的菜園.
(1)如圖1,如果矩形菜園的一邊靠墻AB,另三邊由籬笆CDEF圍成
①設(shè)DE等于xm,直接寫出菜園面積y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量的取值范圍;
②菜園的面積能不能等于110m2?若能,求出此時x的值;若不能,請說明理由;
(2)如圖2,如果矩形菜園的一邊由墻AB和一節(jié)籬笆BF構(gòu)成,另三邊由籬笆ADEF圍成,求菜園面積的最大值.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,Rt△ABC三個頂點都在格點上,點A、B.C的坐標(biāo)分別為A(-1,3),B(-3,1),C(-1,1).請解答下列問題:
(1)畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1,并寫出B1的坐標(biāo);
(2)畫出△A1B1C1繞點C1順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到的△A2B2C2;
(3)求出點A1走過的路徑長.
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【題目】如圖,直徑為 10cm 的⊙O 中,兩條弦 AB,CD 分別位于圓心的異側(cè),AB∥CD,且,若 AB=8cm,則 CD 的長為_____cm.
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【題目】已知一元二次方程x2﹣4x+3=0的兩根是m,n且m<n.如圖,若拋物線y=﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A(m,0)、B(0,n).
(1)求拋物線的解析式.
(2)若(1)中的拋物線與x軸的另一個交點為C.根據(jù)圖象回答,當(dāng)x取何值時,拋物線的圖象在直線BC的上方?
(3)點P在線段OC上,作PE⊥x軸與拋物線交于點E,若直線BC將△CPE的面積分成相等的兩部分,求點P的坐標(biāo).
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【題目】已知,二次函數(shù) y=(x+2)2 的圖象與 x 軸交于點 A,與 y 軸交于點 B.
(1)求點 A、點 B 的坐標(biāo);
(2)求 S△AOB;
(3)求對稱軸方程;
(4)在對稱軸上是否存在一點P,使以 P,A,O,B 為頂點的四邊形為平行四邊形?若存在,求P點坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,四邊形ABCD中,AC平分∠DAB,AC2=ABAD,∠ADC=90°,E為AB的中點.
(1)求證:△ADC∽△ACB;
(2)CE與AD有怎樣的位置關(guān)系?試說明理由;
(3)若AD=4,AB=6,求的值.
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【題目】某景區(qū)商店以2元的批發(fā)價進了一批紀(jì)念品.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),每個定價3元,每天可以能賣出500件,而且定價每上漲0.1元,其銷售量將減少10件.根據(jù)規(guī)定:紀(jì)念品售價不能超過批發(fā)價的2.5倍.
(1)當(dāng)每個紀(jì)念品定價為3.5元時,商店每天能賣出________件;
(2)如果商店要實現(xiàn)每天800元的銷售利潤,那該如何定價?
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