【題目】如圖①,在矩形ABCD中,BC=60cm.動點P以6cm/s的速度在矩形ABCD的邊上沿A→D的方向勻速運動,動點Q在矩形ABCD的邊上沿A→B→C的方向勻速運動.P、Q兩點同時出發(fā),當點P到達終點D時,點Q立即停止運動.設運動的時間為t(s),△PDQ的面積為S(cm2),S與t的函數(shù)圖象如圖②所示.
(1)AB= cm,點Q的運動速度為 cm/s;
(2)在點P、Q出發(fā)的同時,點O也從CD的中點出發(fā),以4cm/s的速度沿CD的垂直平分線向左勻速運動,以點O為圓心的⊙O始終與邊AD、BC相切,當點P到達終點D時,運動同時停止.
①當點O在QD上時,求t的值;
②當PQ與⊙O有公共點時,求t的取值范圍.
【答案】(1)30,6;(2)①;②≤t≤.
【解析】
(1)設點Q的運動速度為a,則由圖②可看出,當運動時間為5s時,△PDQ有最大面積450,即此時點Q到達點B處,可列出關于a的方程,即可求出點Q的速度,進一步求出AB的長;
(2)①如圖1,設AB,CD的中點分別為E,F,當點O在QD上時,用含t的代數(shù)式分別表示出OF,QC的長,由OF=QC可求出t的值;
②設AB,CD的中點分別為E,F,⊙O與AD,BC的切點分別為N,G,過點Q作QH⊥AD于H,如圖2﹣1,當⊙O第一次與PQ相切于點M時,證△QHP是等腰直角三角形,分別用含t的代數(shù)式表示CG,QM,PM,再表示出QP,由QP=QH可求出t的值;同理,如圖2﹣2,當⊙O第二次與PQ相切于點M時,可求出t的值,即可寫出t的取值范圍.
(1)設點Q的運動速度為a,
則由圖②可看出,當運動時間為5s時,△PDQ有最大面積450,即此時點Q到達點B處,
∵AP=6t,
∴S△PDQ=(60﹣6×5)×5a=450,
∴a=6,
∴AB=5a=30,
故答案為:30,6;
(2)①如圖1,設AB,CD的中點分別為E,F,當點O在QD上時,
QC=AB+BC﹣6t=90﹣6t,OF=4t,
∵OF∥QC且點F是DC的中點,
∴OF=QC,
即4t= (90﹣6t),
解得,t=;
②設AB,CD的中點分別為E,F,⊙O與AD,BC的切點分別為N,G,過點Q作QH⊥AD于H,
如圖2﹣1,當⊙O第一次與PQ相切于點M時,
∵AH+AP=6t,AB+BQ=6t,且BQ=AH,
∴HP=QH=AB=30,
∴△QHP是等腰直角三角形,
∵CG=DN=OF=4t,
∴QM=QG=90﹣4t﹣6t=90﹣10t,PM=PN=60﹣4t﹣6t=60﹣10t,
∴QP=QM+MP=150﹣20t,
∵QP=QH,
∴150﹣20t=30,
∴t=;
如圖2﹣2,當⊙O第二次與PQ相切于點M時,
∵AH+AP=6t,AB+BQ=6t,且BQ=AH,
∴HP=QH=AB=30,
∴△QHP是等腰直角三角形,
∵CG=DN=OF=4t,
∴QM=QG=4t﹣(90﹣6t)=10t﹣90,
PM=PN=4t﹣(60﹣6t)=10t﹣60,
∴QP=QM+MP=20t﹣150,
∵QP=QH,
∴20t﹣150=30,
∴t=,
綜上所述,當PQ與⊙O有公共點時,t的取值范圍為:≤t≤.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線與軸交于點、,頂點為M.
(1)求拋物線的解析式和點M的坐標;
(2)點E是拋物線段BC上的一個動點,設的面積為S,求出S的最大值,并求出此時點E的坐標;
(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使得以A、P、C為頂點的三角形是直角三角形?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在菱形ABCD中,AB=BD,點E、F分別在BC、CD上,且BE=CF,連接BF、DE交于點M,延長ED到H使DH=BM,連接AM,AH,則以下四個結論:
①△BDF≌△DCE;②∠BMD=120°;③△AMH是等邊三角形;④S四邊形ABCD= AM2.
其中正確結論的個數(shù)是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【題目】某班級組織了“我和我的祖國”演講比賽,甲、乙兩隊各有10人參加本次比賽,成績如下(10分制)
甲 | 10 | 8 | 7 | 9 | 8 | 10 | 10 | 9 | 10 | 9 |
乙 | 7 | 8 | 9 | 7 | 10 | 10 | 9 | 10 | 10 | 10 |
(1)甲隊成績的眾數(shù)是 分,乙隊成績的中位數(shù)是 分.
(2)計算乙隊成績的平均數(shù)和方差.
(3)已知甲隊成績的方差是1分2,則成績較為整齊的是 隊.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在“雙十一”購物街中,某兒童品牌玩具專賣店購進了兩種玩具,其中類玩具的金價比玩具的進價每個多元.經(jīng)調查發(fā)現(xiàn):用元購進類玩具的數(shù)量與用元購進類玩具的數(shù)量相同.
(1)求的進價分別是每個多少元?
(2)該玩具店共購進了兩類玩具共個,若玩具店將每個類玩具定價為元出售,每個類玩具定價元出售,且全部售出后所獲得的利潤不少于元,則該淘寶專賣店至少購進類玩具多少個?
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【題目】某商場銷售一批名牌襯衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元.為擴大銷售,增加盈利,商場決定采取適當?shù)慕祪r措施,經(jīng)調查發(fā)現(xiàn),如果每件襯衫每降價1元,商場平均每天可多售出2件.
(1)每件襯衫降價多少元時,商場平均每天的盈利是1050元?
(2)每件襯衫降價多少元時,商場平均每天盈利最大?最大盈利是多少?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=4,BC=5,點E是邊CD的中點,將△ADE沿AE折疊后得到△AFE.延長AF交邊BC于點G,則CG為_____.
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