Question

【題目】如圖，已知拋物線與軸交于點(diǎn)、，頂點(diǎn)為M．

（1）求拋物線的解析式和點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)E是拋物線段BC上的一個動點(diǎn)，設(shè)的面積為S，求出S的最大值，并求出此時點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得以A、P、C為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），M(1，4)；（2）當(dāng)時，S最大=，E(，)；（3）存在，P1(1，)，P2(1，)，P3(1，1)，P4(1，2)．

【解析】

（1）將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，列出方程組，通過解方程組求得、的值即可；利用配方法將函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）利用待定系數(shù)法確定直線解析式，由函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求得點(diǎn)、的坐標(biāo)，然后根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求得長度，結(jié)合三角形的面積公式列出函數(shù)式，根據(jù)二次函數(shù)最值的求法求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，易得其縱坐標(biāo)，則點(diǎn)的坐標(biāo)迎刃而解了；

（3）需要分類討論：點(diǎn)、、分別為直角頂點(diǎn)，利用勾股定理求得答案．

解：（1）拋物線與軸交于點(diǎn)、，

．

解得．

，則；

（2）如圖，作軸交于點(diǎn)

，，

直線解析式為：．

設(shè)，則．

．

．

當(dāng)時，S最大．

此時，點(diǎn)的坐標(biāo)是，；

（3）設(shè)，、，

，，．

①當(dāng)時，，即．解得．

②當(dāng)時，，即．解得．

③當(dāng)時，，即．解得或2．

綜上所述，存在，符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)是或或或，