【題目】如圖,直角梯形ABCD中,AB//DC,∠DAB=90°,AD=2DC=4,AB=6.動點M以每秒1個單位長的速度,從點A沿線段AB向點B運(yùn)動;同時點P以相同的速度,從點C沿折線C﹣D﹣A向點A運(yùn)動.當(dāng)點M到達(dá)點B時,兩點同時停止運(yùn)動.過點M作直線l//AD,與線段CD的交點為E,與折線A﹣C﹣B的交點為Q.點M運(yùn)動的時間為t(秒).

(1)當(dāng)t=0.5時,求線段QM的長;
(2)當(dāng)0<t<2時,如果以C、P、Q為頂點的三角形為直角三角形,求t的值;
(3)當(dāng)t>2時,連接PQ交線段AC于點R.請?zhí)骄? 是否為定值,若是,試求這個定值;若不是,請說明理由.

【答案】
(1)

解:過點C作CF⊥AB于F,則四邊形AFCD為矩形.

∴CF=4,AF=2,

此時,Rt△AQM∽Rt△ACF,

=

= ,

∴QM=1


(2)

解:∵∠DCA為銳角,故有兩種情況:

①當(dāng)∠CPQ=90°時,點P與點E重合,

此時DE+CP=CD,即t+t=2,∴t=1,在0<t<2內(nèi),

②當(dāng)∠PQC=90°時,如備用圖1,

此時Rt△PEQ∽Rt△QMA,∴ = ,

由(1)知,EQ=EM﹣QM=4﹣2t,

而PE=PC﹣CE=PC﹣(DC﹣DE)=t﹣(2﹣t)=2t﹣2,

=

∴t= ,在0<t<2內(nèi);

綜上所述,t=1或


(3)

解: 為定值.

當(dāng)t>2時,如備用圖2,PA=DA﹣DP=4﹣(t﹣2)=6﹣t,

由(1)得,BF=AB﹣AF=4,

∴CF=BF,

∴∠CBF=45°,

∴QM=MB=6﹣t,

∴QM=PA,

∵AB//DC,∠DAB=90°,

∴四邊形AMQP為矩形,

∴PQ//AB,

∴△CRQ∽△CAB,

= = = =


【解析】(1)過點C作CF⊥AB于F,則四邊形AFCD為矩形,易知CF=4,AF=2,利用平行線分線段成比例定理的推論可知Rt△AQM∽Rt△ACF,那么可得比例線段,從而求出QM;(2)由于∠DCA為銳角,故有兩種情況:
①當(dāng)∠CPQ=90°時,點P與點E重合,可得DE+CP=CD,從而可求t;②當(dāng)∠PQC=90°時,如備用圖1,容易證出Rt△PEQ∽Rt△QMA,再利用比例線段,結(jié)合EQ=EM﹣QM=4﹣2t,可求t;(3) 為定值.當(dāng)t>2時,如備用圖2,先證明四邊形AMQP為矩形,再利用平行線分線段成比例定理的推論可得△CRQ∽△CAB,再利用比例線段可求
【考點精析】關(guān)于本題考查的相似三角形的應(yīng)用,需要了解測高:測量不能到達(dá)頂部的物體的高度,通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決;測距:測量不能到達(dá)兩點間的舉例,常構(gòu)造相似三角形求解才能得出正確答案.

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進(jìn)價(元/件)

20

30

售價(元/件)

29

40

(1)新瑪特購物中心將第一次購進(jìn)的甲、乙兩種商品全部賣完后一共可獲得多少利潤?

(2)該購物中心第二次以第一次的進(jìn)價又購進(jìn)甲、乙兩種商品,其中甲種商品的件數(shù)不變,乙種商品的件數(shù)是第一次的3倍;甲商品按原價銷售,乙商品打折銷售,第二次兩種商品都銷售完以后獲得總利潤比第一次獲得的總利潤多160元,求第二次乙種商品是按原價打幾折銷售?

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