Question

【題目】如圖，已知正比例函數(shù)y=2x與反比例函數(shù)y=（k＞0）的圖象交于A、B兩點，且點A的橫坐標為4，

（1）求k的值；

（2）根據(jù)圖象直接寫出正比例函數(shù)值小于反比例函數(shù)值時x的取值范圍；

（3）過原點O的另一條直線l交雙曲線y=（k＞0）于P、Q兩點（P點在第一象限），若由點A、P、B、Q為頂點組成的四邊形面積為224，求點P的坐標．

【答案】(1) k=32 (2) x＜﹣8或0＜x＜8 (3) P（﹣7+3 ，16+）；或P（7+3，﹣16+）

【解析】分析：（1）先將x=4代入正比例函數(shù)y=2x，可得出y=8，求得點A（4，8），再根據(jù)點A與B關(guān)于原點對稱，得出B點坐標，即可得出k的值；

（2）正比例函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值即正比例函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)的圖象下方，根據(jù)圖形可知在交點的右邊正比例函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值．

（3）由于雙曲線是關(guān)于原點的中心對稱圖形，因此以A、B、P、Q為頂點的四邊形應(yīng)該是平行四邊形，那么△POA的面積就應(yīng)該是四邊形面積的四分之一即56．可根據(jù)雙曲線的解析式設(shè)出P點的坐標，然后表示出△POA的面積，由于△POA的面積為56，由此可得出關(guān)于P點橫坐標的方程，即可求出P點的坐標．

詳解：（1）∵點A在正比例函數(shù)y=2x上，

∴把x=4代入正比例函數(shù)y=2x，

解得y=8，∴點A（4，8），

把點A（4，8）代入反比例函數(shù)y=，得k=32，

（2）∵點A與B關(guān)于原點對稱，

∴B點坐標為（﹣4，﹣8），

由交點坐標，根據(jù)圖象直接寫出正比例函數(shù)值小于反比例函數(shù)值時x的取值范圍，x＜﹣8或0＜x＜8；

（3）∵反比例函數(shù)圖象是關(guān)于原點O的中心對稱圖形，

∴OP=OQ，OA=OB，

∴四邊形APBQ是平行四邊形，

∴S△POA=S平行四邊形APBQ×=×224=56，

設(shè)點P的橫坐標為m（m＞0且m≠4），

得P（m， ），

過點P、A分別做x軸的垂線，垂足為E、F，

∵點P、A在雙曲線上，

∴S△POE=S△AOF=16，

若0＜m＜4，如圖，

∵S△POE+S梯形PEFA=S△POA+S△AOF，

∴S梯形PEFA=S△POA=56．

∴（8+）（4﹣m）=56．

∴m1=﹣7+3，m2=﹣7﹣3（舍去），

∴P（﹣7+3，16+）；

若m＞4，如圖，

∵S△AOF+S梯形AFEP=S△AOP+S△POE，

∴S梯形PEFA=S△POA=56．

∴×（8+）（m﹣4）=56，

解得m1=7+3，m2=7﹣3（舍去），

∴P（7+3，﹣16+）．

∴點P的坐標是P（﹣7+3，16+）；或P（7+3，﹣16+）．

點睛：本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式和反比例函數(shù)y=中k的幾何意義．這里體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，做此類題一定要正確理解k的幾何意義．利用數(shù)形結(jié)合的思想，求得三角形的面積．

【題型】解答題
【結(jié)束】
23

【題目】如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=9，∠ABC=70°，點E，F(xiàn)分別在線段AD，DC上（點E與點A，D不重合），且∠BEF=110°．

（1）求證：△ABE∽△DEF．

（2）當點E為AD中點時，求DF的長；

（3）在線段AD上是否存在一點E，使得F點為CD的中點？若存在，求出AE的長度；若不存在，試說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）不存在，理由見解析

【解析】分析：（1）由AD∥BC可求得∠A=∠D=110°，由三角形外角可求得∠AEB=∠DFE，則可證得△ABE∽△DEF；

（2）當E為AD中點時，則可求得DE=AE=，利用相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于DF的方程，可求得DF的長；

（3）設(shè)AE=x，則DE=9﹣x，利用F為CD的中點可得DF=，利用相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于x的方程，解方程進行判斷即可．

詳解：（1）∵AB=DC=AD=9，AD∥BC，∴梯形ABCD為等腰梯形．

∵∠ABC=70°，∴∠A=∠D=180°﹣70°=110°．

∵∠BEF=110°，∴∠AEB+∠BEF=∠D+∠DFE，∴∠AEB=∠DFE，∴△ABE∽△DEF；

（2） 當E為AD的中點時，則AE=DE=．

∵△ABE∽△DEF，

∴=，即=，

∴DF=；

（3）不存在．理由如下：

若F為CD的中點，則DF=，設(shè)AE=x，則DE=9﹣x，同（2）可得：=，即=，

整理可得：x2﹣9x+=0，

∴△=（﹣9）2﹣4×=﹣81＜0，

∴方程無實數(shù)根，

∴不存在滿足條件的點E．