【題目】如圖,將矩形ABCD沿AF折疊,使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)E處,過點(diǎn)E作EG∥CD交舡于點(diǎn)G,連接DG.
(1)求證:四邊形EFDG是菱形;
(2) 求證: ;
(3)若AG=6,EG=2,求BE的長(zhǎng).
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)BE的長(zhǎng)為.
【解析】(1)先依據(jù)翻折的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明∠DGF=∠DFG,從而得到GD=DF,接下來依據(jù)翻折的性質(zhì)可證明DG=GE=DF=EF;
(2)連接DE,交AF于點(diǎn)O.由菱形的性質(zhì)可知GF⊥DE,OG=OF=GF,接下來,證明△DOF∽△ADF,由相似三角形的性質(zhì)可證明DF2=FOAF,于是可得到GE、AF、FG的數(shù)量關(guān)系;
(3)過點(diǎn)G作GH⊥DC,垂足為H.利用(2)的結(jié)論可求得FG=4,然后再△ADF中依據(jù)勾股定理可求得AD的長(zhǎng),然后再證明△FGH∽△FAD,利用相似三角形的性質(zhì)可求得GH的長(zhǎng),最后依據(jù)BE=AD﹣GH求解即可.
解:(1)證明:∵GE∥DF,
∴∠EGF=∠DFG.
∵由翻折的性質(zhì)可知:GD=GE,DF=EF,∠DGF=∠EGF,
∴∠DGF=∠DFG.
∴GD=DF.
∴DG=GE=DF=EF.
∴四邊形EFDG為菱形.
(2)EG2=GFAF.
理由:如圖1所示:連接DE,交AF于點(diǎn)O.
∵四邊形EFDG為菱形,
∴GF⊥DE,OG=OF=GF.
∵∠DOF=∠ADF=90°,∠OFD=∠DFA,
∴△DOF∽△ADF.
∴,即DF2=FOAF.
∵FO=GF,DF=EG,
∴EG2=GFAF.
(3)如圖2所示:過點(diǎn)G作GH⊥DC,垂足為H.
∵EG2=GFAF,AG=6,EG=2,
∴20=FG(FG+6),整理得:FG2+6FG﹣40=0.
解得:FG=4,F(xiàn)G=﹣10(舍去).
∵DF=GE=2,AF=10,
∴AD==4.
∵GH⊥DC,AD⊥DC,
∴GH∥AD.
∴△FGH∽△FAD.
∴,即=.
∴GH=.
∴BE=AD﹣GH=4﹣=.
“點(diǎn)睛”本題考查的是四邊形與三角形的綜合應(yīng)用,解題應(yīng)用了矩形的性質(zhì),菱形的性質(zhì)和判定、相似三角形的判定和性質(zhì),掌握矩形的性質(zhì)定理和相似三角形的判定定理、性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.
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【題目】某地電話撥號(hào)入網(wǎng)有兩種收費(fèi)方式,用戶可以任選其一:
(A)計(jì)時(shí)制:0.05元/分;
(B)包月制:50元/月(限一部個(gè)人住宅電話上網(wǎng)).
此外,每一種上網(wǎng)方式都得加收通信費(fèi)0.02元/分.
(1)某用戶某月上網(wǎng)的時(shí)間為分,請(qǐng)你用含的代數(shù)式分別寫出兩種收費(fèi)方式下該用戶應(yīng)該支付的費(fèi)用;
(2)如果某用戶一個(gè)月內(nèi)上網(wǎng)的時(shí)間為20小時(shí),你認(rèn)為采用哪種方式較為合算?
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車型 | 甲 | 乙 | 丙 |
汽車運(yùn)載量(噸/輛) | 5 | 8 | 10 |
(1)裝運(yùn)C品種物資車輛數(shù)為 輛(用含與的代數(shù)式表示);
(2)試求A、B、C三種物資各幾噸。
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【題目】有兩個(gè)事件,事件A:367人中至少有2人生日相同;事件B:拋擲一枚均勻的骰子,朝上的面點(diǎn)數(shù)為偶數(shù).下列說法正確的是( )
A.事件A、B都是隨機(jī)事件
B.事件A、B都是必然事件
C.事件A是隨機(jī)事件,事件B是必然事件
D.事件A是必然事件,事件B是隨機(jī)事件
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【題目】當(dāng)-ax<ay,x>-y,則a的值為( )
A. a=0 B. a<0 C. a>0 D. 任意有理數(shù)
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【題目】觀察下列各式及其驗(yàn)證過程: 驗(yàn)證: = ;
驗(yàn)證: = = = ;
驗(yàn)證: = ;
驗(yàn)證: = = = .
(1)按照上述兩個(gè)等式及其驗(yàn)證過程的基本思路,猜想4 的變形結(jié)果并進(jìn)行驗(yàn)證;
(2)針對(duì)上述各式反映的規(guī)律,寫出用n(n為任意自然數(shù),且n≥2)表示的等式,并給出證明.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P(-5,0)在( )
A. 第二象限 B. x軸上
C. 第四象限 D. y軸上
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【題目】某藥品經(jīng)過兩次降價(jià),每瓶零售價(jià)由100元降為81元.已知兩次降價(jià)的百分率都為x,那么x滿足的方程是( )
A.100(1+x)2=81
B.100(1﹣x)2=81
C.100(1﹣x%)2=81
D.100x2=81
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