Question

17．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=90°，BC=2，將△ABC繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜90°）得到△DEC，設(shè)CD交AB于點F．連接AD．
（1）當α=30°時．
①求證：△BCF是等邊三角形；
②求DF的長及△ADF的面積（結(jié)果保留根號）；
（2）當旋轉(zhuǎn)角α為何值時，△ADF是等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）①由∠ACB=90°、∠BAC=30°、∠α=30°可得∠ABC=∠BCF=60°，得證；
②RT△ABC中求出AC=DC=2$\sqrt{3}$，由①知CF=BC=2，DF=DC-CF可得；作AP⊥DF于P，在RT△ACP中求得AP=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{3}$，根據(jù)S_△ADF=$\frac{1}{2}$DF•AP計算可得；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=CD，根據(jù)等腰三角形的兩底角相等求出∠ADF=∠DAC，再表示出∠DAF，根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和表示出∠AFD，然后分①∠ADF=∠DAF，②∠ADF=∠AFD，③∠DAF=∠AFD三種情況討論求解．

解答 解：（1）①∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，∠α=30°，
∴∠ABC=∠BCF=60°，
∴△BCF是等邊三角形；
②RT△ABC中，∵BC=2，∠BAC=30°，
∴AB=2BC=4，AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∵△DEC是由△ACB旋轉(zhuǎn)得到，
∴DC=AC=$2\sqrt{3}$，
由①知，CF=BC=2，
∴DF=DC-CF=2$\sqrt{3}$-2；
作AP⊥DF于P，

在RT△ACP中，∵∠α=30°，AC=2$\sqrt{3}$，
∴AP=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{3}$，
∴S_△ADF=$\frac{1}{2}$DF•AP=$\frac{1}{2}$×（2$\sqrt{3}$-2）×$\sqrt{3}$=3-$\sqrt{3}$；
（2）∵△ABC繞C點逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△DEC，
∴AC=CD，
∴∠ADF=∠DAC=$\frac{1}{2}$（180°-α），
∴∠DAF=∠ADC-∠BAC=$\frac{1}{2}$（180°-α）-30°，
根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，∠AFD=∠BAC+∠DAC=30°+α，
△ADF是等腰三角形，分三種情況討論，
①∠ADF=∠DAF時，$\frac{1}{2}$（180°-α）=$\frac{1}{2}$（180°-α）-30°，無解，
②∠ADF=∠AFD時，$\frac{1}{2}$（180°-α）=30°+α，解得α=40°，
③∠DAF=∠AFD時，$\frac{1}{2}$（180°-α）-30°=30°+α，解得α=20°，
綜上所述，旋轉(zhuǎn)角α度數(shù)為20°或40°．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊對等角的性質(zhì)、直角三角形的有關(guān)性質(zhì)、三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，難點在于要分情況討論．