Question

如圖，已知直線l∥l，一個45°角的頂點A在l上，過A作AD⊥l，垂足為D，AD＝6．將這個角繞頂點A旋轉(zhuǎn)（角的兩邊足夠長）．

（1）如下圖，旋轉(zhuǎn)過程中，若角的兩邊與l分別交于B、C，且AB＝AC，求BD的長．

為了解決這個問題，下面提供一種解題思路：如圖，作∠DAP＝45°，AP與l相交于點P，過點C作CQ⊥AP于點Q．∵∠DAP＝∠BAC ＝45°，∴∠BAD＝∠CAQ， 請你接下去完成解答．

（2）旋轉(zhuǎn)過程中，若角的兩邊與l分別交于E、F（E在F左面），且AE＞AF，DF＝ 2，求DE的長．請你借鑒（1）的做法在備用圖中畫圖并解答這個問題．

                                         

Answer 1

解：（1）∵AD⊥l，CQ⊥AP，∴∠ADB＝∠AQC＝90°，

又∵AB＝AC，∴△ABD≌△ACQ，∴BD＝CQ，AQ＝AD＝6，

易證△ADP、△CQP是等腰直角三角形，∴AP＝，∴QP＝，

∴BD＝CQ＝ QP＝   

（2）①如圖（1）作∠DAP＝45°，AP與l相交于點P，過點F作FQ⊥AP于點Q．

∵∠DAP＝∠EAF ＝45°，∴∠EAD＝∠FAQ，

∵AD⊥l，FQ⊥AP，∴∠ADE＝∠AQF＝90°，

∴△AED∽△AFQ，∴  

易證△ADP、△FQP是等腰直角三角形，

∴DP＝AD＝6，AP＝，

∵DF＝ 2，∴FP＝DP－DF＝4，

∴FQ＝QP＝ ∴AQ＝，

∴，∴DE＝3

②如圖（2）作∠DAP＝45°，AP與l相交于點P，過點F作FQ⊥AP于點Q．

∵∠DAP＝∠EAF ＝45°，∴∠EAD＝∠FAQ，

∵AD⊥l，FQ⊥AP，∴∠ADE＝∠AQF＝90°，

∴△AED∽△AFQ，∴   

易證△ADP、△FQP是等腰直角三角形，

∴DP＝AD＝6，AP＝，

∵DF＝ 2，∴FP＝DP＋DF＝8，

∴FQ＝QP＝ ∴AQ＝，

∴，∴DE＝12．