Question

【題目】如圖1，已知平行四邊形ABCO，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，OC所在的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，AB交y軸于點(diǎn)D，AD=2，OC=6，∠A=60°，線段EF所在的直線為OD的垂直平分線，點(diǎn)P為線段EF上的動(dòng)點(diǎn)，PM⊥x軸于點(diǎn)M點(diǎn)，點(diǎn)E與E′關(guān)于x軸對(duì)稱，連接BP、E′M．

（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)A的坐標(biāo)為_____，點(diǎn)B的坐標(biāo)為_____；

（2）當(dāng)BP+PM+ME′的長(zhǎng)度最小時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為_____；

（3）如圖2，點(diǎn)N為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)且CM=CN，連接MN，是否存在點(diǎn)P，使△PMN為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有滿足要求的EP的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）（﹣2，2），（4，2）；（2）（2，）；（3）EP的值為3或6﹣或5．

【解析】

（1）由30°直角三角形的性質(zhì)求出OD的長(zhǎng)，再由平行四邊形的性質(zhì)求出BD的長(zhǎng)即可解決問(wèn)題；

（2）首先證明四邊形OPME′是平行四邊形，可得OP=EM，因?yàn)?/span>PM是定值，推出PB+ME′=OP+PB的值最小時(shí)，BP+PM+ME′的長(zhǎng)度最小；

（3）分三種情形畫(huà)出圖形分別求解即可解決問(wèn)題．

（1）如圖1中，

在Rt△ADO中，∵∠A=60°，∴∠AOD=30°．∵AD=2，∴OD =2，∴A（﹣2，2），

∵四邊形ABCO是平行四邊形，∴AB=OC=6，∴DB=6﹣2=4，∴B（4，2）；

（2）如圖1中，連接OP．

∵EF垂直平分線段OD，PM⊥OC，∴∠PEO=∠EOM=∠PMO=90°，∴四邊形OMPE是矩形，∴PM=OE=．

∵OE=OE′，∴PM=OE′，PM∥OE′，∴四邊形OPME′是平行四邊形，∴OP=EM，

∵PM是定值，∴PB+ME′=OP+PB的值最小時(shí)，BP+PM+ME′的長(zhǎng)度最小，∴當(dāng)O、P、B共線時(shí)，BP+PM+ME′的長(zhǎng)度最小．

∵直線OB的解析式為y=x，∴P（2，）．

故答案為：（2，）．

（3）如圖2中，當(dāng)PM=PN=時(shí)，

∵AOCB是平行四邊形，∴∠MCN=∠A=60°．∵MC=CN，∴△MNC是等邊三角形，∴∠CMN=∠CNM=60°．

∵PM⊥OC，∴∠PMN=∠PNM=30°，∴∠PNF=30°+60°=90°，

∵∠PFN=∠BCO=60°，∴∠NPF=30°，NF=1，∴PF=2NF=2，

∵EF==5，∴PE=5﹣2=3．

如圖3中，當(dāng)PM=MN時(shí)，

∵PM=MN=CM=，∴EP=OM=6﹣．

如圖4中，當(dāng)點(diǎn)P與F重合時(shí)，NP=NM，此時(shí)PE=EF=5．

綜上所述：滿足條件的EP的值為3或6﹣或5．