Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，弦BC＝OB，點D是上一動點，點E是CD中點，連接BD分別交OC，OE于點F，G．

(1)求∠DGE的度數；

(2)若＝，求的值；

(3)記△CFB，△DGO的面積分別為S1，S2，若＝k，求的值．(用含k的式子表示)

Answer 1

【答案】(1)∠DGE＝60°；(2)；(3)=.

【解析】

（1）根據等邊三角形的性質，同弧所對的圓心角和圓周角的關系，可以求得∠DGE的度數；
（2）根據題意，三角形相似、勾股定理可以求得的值；
（3）根據題意，作出合適的輔助線，然后根據三角形相似、勾股定理可以用含k的式子表示出的值．

解：(1)∵BC＝OB＝OC，

∴∠COB＝60°，

∴∠CDB＝∠COB＝30°，

∵OC＝OD，點E為CD中點，

∴OE⊥CD，

∴∠GED＝90°，

∴∠DGE＝60°；

(2)過點F作FH⊥AB于點H

設CF＝1，則OF＝2，OC＝OB＝3

∵∠COB＝60°

∴OH＝OF＝1，

∴HF＝OH＝，HB＝OB﹣OH＝2，

在Rt△BHF中，BF，

由OC＝OB，∠COB＝60°得：∠OCB＝60°，

又∵∠OGB＝∠DGE＝60°，

∴∠OGB＝∠OCB，

∵∠OFG＝∠CFB，

∴△FGO∽△FCB，

∴$\frac{O F}{B F}=\frac{G F}{C F}$，

∴GF＝$\frac{2}{\sqrt{7}}$，

∴=.

(3)過點F作FH⊥AB于點H，

設OF＝1，則CF＝k，OB＝OC＝k+1，

∵∠COB＝60°，

∴OH＝OF=，

∴HF＝，HB＝OB﹣OH＝k+，

在Rt△BHF中，

BF＝，

由(2)得：△FGO∽△FCB，

∴，即，

∴GO，

過點C作CP⊥BD于點P

∵∠CDB＝30°

∴PC＝CD，

∵點E是CD中點，

∴DE＝CD，

∴PC＝DE，

∵DE⊥OE，

∴===