Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A（-1，0）、B（3，0）．現(xiàn)同時將點(diǎn)A，B分別向上平移2個單位，再向右平移1個單位，分別得到點(diǎn)A，B的對應(yīng)點(diǎn)C、D，連接AC，BD．

（1）直接寫出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，求四邊形ABDC的面積S_{四邊形ABDC}；
（2）在坐標(biāo)軸上是否存在一點(diǎn)P，使S_△PAC=

1

4

S_{四邊形ABDC}？若存在這樣一點(diǎn)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由．
（3）如圖3，在線段CO上取一點(diǎn)G，使OG=3CG，在線段OB上取一點(diǎn)F，使OF=2BF，CF與BG交于點(diǎn)H，求四邊形OGHF的面積S_{四邊形OGHF}．

Answer 1

考點(diǎn)：坐標(biāo)與圖形性質(zhì),三角形的面積,坐標(biāo)與圖形變化-平移

專題：

分析：（1）根據(jù)向右平移橫坐標(biāo)加，向上平移縱坐標(biāo)加寫出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)即可，再根據(jù)平行四邊形的面積公式列式計算即可得解；
（2）分點(diǎn)P在x軸上時求出AP的長度，然后分兩種情況寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；點(diǎn)P在y軸上時，求出CP的長，然后分兩種情況寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）求出點(diǎn)G、F的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出直線CF、BG的解析式，聯(lián)立求出點(diǎn)H的坐標(biāo)，再根據(jù)S_{四邊形OGHF}=S_△OBG-S_△HBF列式計算即可得解．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A（-1，0），B（3，0）分別向上平移2個單位，再向右平移1個單位，
∴點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別為（0，2），（4，2），
S_{四邊形ABDC}=4×2=8；

（2）點(diǎn)P在x軸上時，∵S_△PAC=

1

4

S_{四邊形ABDC}，
∴

1

2

AP×2=

1

4

×8，
解得AP=2，
當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的左邊時，-1-2=-3，
點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-3，0），
點(diǎn)P在點(diǎn)A的右邊時，-1+2=1，
點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0）；
點(diǎn)P在y軸上時，∵S_△PAC=

1

4

S_{四邊形ABDC}，
∴

1

2

CP×1=

1

4

×8，
解得CP=4，
點(diǎn)P在點(diǎn)C的上方時，2+4=6，
點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，6），
點(diǎn)P在點(diǎn)C的下方時，2-4=-2，
點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，-2），
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-3，0）或（1，0）或（0，6）或（0，-2）；

（3）∵OG=3CG，
∴OG=

3

1+3

×2=

3

2

，
∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0，

3

2

），
∵OF=2BF，
∴OF=

2

1+2

×3=2，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，0），
易求直線CF的解析式為y=-x+2，
直線BG的解析式為y=-

1

2

x+

3

2

，
聯(lián)立

y=-x+2 y=- 1 2 x+ 3 2

，
解得

x=1 y=1

，
∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為（1，1），
∴S_{四邊形OGHF}=S_△OBG-S_△HBF，
=

1

2

×3×

3

2

-

1

2

×（3-2）×1，
=

9

4

-

1

2

，
=

7

4

．

點(diǎn)評：本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，三角形的面積，坐標(biāo)與圖形變化-平移，難點(diǎn)在于（2）分情況討論，（3）求出點(diǎn)H的坐標(biāo)．