Question

1．如圖，已知AB為⊙O的直徑，直線(xiàn)l與⊙O相切于點(diǎn)D，AC⊥l于C，AC交⊙O于點(diǎn)E，DF⊥AB于F．若AE=3，CD=2，則⊙O的直徑為5．

Answer 1

分析 利用切線(xiàn)的性質(zhì)，易得OD∥AC，繼而證明AD是∠BAC的角平分線(xiàn)，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理可證得：CD=DF，AF=AC，進(jìn)而證得△BDF≌△EDC，則BF=CE；根據(jù)AC=AF，BF=CE即可求解．

解答 解：連接DE，BD．
∵DC是圓的切線(xiàn)．
∴∠EDC=∠DAC，OD⊥直線(xiàn)l，
∵AC⊥直線(xiàn)l．
∴OD∥AC，
∴∠ADO=∠DAC，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∴∠OAD=∠DAC，
∴DF=CD=2，∠ADF=∠ADC，
∴AF=AC，
∵∠DCE=∠ACD，
∴△CDE∽△CAD，
∴CD：CA=CE：CD，
∴CD²=CE•CA，即4=CE（CE+3），
解得：CE=1，
∵DF⊥AB，AC⊥l于C，
∴∠BFD=∠DCE=90°，
在△BDF和△EDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EDC=∠DAC}\\{∠BFD=∠DCE}\\{DF=DC}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△EDC（AAS），
∴FB=CE=1，
∴AB=BF+AF=BF+AC=1+AE+CE=1+3+1=5．
故答案為：5．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)、平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)、角平分線(xiàn)的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．注意準(zhǔn)確作出輔助線(xiàn)是解此題的關(guān)鍵．