【題目】如圖,二次函數y=x2+bx+c的圖象過點B(0,1)和C(4,3)兩點,與x軸交于點D、點E,過點B和點C的直線與x軸交于點A.
(1)求二次函數的解析式;
(2)在x軸上有一動點P,隨著點P的移動,存在點P使△PBC是直角三角形,請你求出點P的坐標;
(3)若動點P從A點出發(fā),在x軸上沿x軸正方向以每秒2個單位的速度運動,同時動點Q也從A點出發(fā),以每秒a個單位的速度沿射線AC運動,是否存在以A、P、Q為頂點的三角形與△ABD相似?若存在,直接寫出a的值;若不存在,說明理由.
【答案】(1)拋物線解析式y=x2–x+1;(2)點P坐標為(1,0),(3,0),(,0),(,0);(3)a=或.
【解析】
(1) 將B、C兩點坐標代入二次函數解析式,通過聯(lián)立方程組可求得b、c的值,進而求出函數解析式;
(2)設P(x,0),由△PBC是直角三角形,分∠CBP=90°與∠BPC=90°兩種情況討論,運用勾股定理可得x的值,進而得到P點坐標;
(3)假設成立有△APQ∽△ADB或△APQ∽△ABD,則對應邊成比例,可求出a的值.
(1)∵二次函數y=0.5x2+bx+c的圖象過點B(0,1)和C(4,3)兩點,
∴,解得,
∴拋物線解析式y=x2–x+1.
(2)設點P坐標為(x,0).
∵點P(x,0),點B(0,1),點C(4,3),
∴PB==,
CP= =,
BC= =2,
若∠BCP=90°,則BP2=BC2+CP2.
∴x2+1=20+x2–8x+25,∴x=.
若∠CBP=90°,則CP2=BC2+BP2.
∴x2+1+20=x2–8x+25,∴x=.
若∠BPC=90°,則BC2=BP2+CP2.
∴x2+1+x2–8x+25=20,
∴x1=1,x2=3,
綜上所述:點P坐標為(1,0),(3,0),(,0),(,0).
(3)a=或.
∵拋物線解析式y=x2–x+1與x軸交于點D,點E,
∴0=x2–x+1,∴x1=1,x2=2,∴點D(1,0).
∵點B(0,1),C(4,3),
∴直線BC解析式y=x+1.
當y=0時,x=–2,∴點A(–2,0).
∵點A(–2,0),點B(0,1),點D(1,0),
∴AD=3,AB=.
設經過t秒,∴AP=2t,AQ=at,
若△APQ∽△ADB,
∴,即,∴a=,
若△APQ∽△ABD,∴,即,∴a=.
綜上所述:a=或.
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【題目】如圖,在銳角△ABC中,AB=5,∠BAC=45°,∠BAC的平分線交BC于點D,M,N分別是AD,AB上的動點,則BM+MN的最小值是______.
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【題目】一家商店進行裝修,若請甲、乙兩個裝修組同時施工,8天可以完成,需付兩組費用共3520元,若先請甲組單獨做6天,再請乙組單獨做12天可以完成,需付費用3480元,問:
(1)甲,乙兩組工作一天,商店各應付多少錢?
(2)已知甲單獨完成需12天,乙單獨完成需24天,單獨請哪個組,商店所需費用最少?
(3)若裝修完后,商店每天可贏利200元,你認為如何安排施工更有利于商店?請你幫助商店決策.(可用(1)(2)問的條件及結論)
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【題目】在“五四青年節(jié)”來臨之際,某校舉辦了以“我的青春我做主”為主題的演講比賽. 并從參加比賽的學生中隨機抽取部分學生的演講成績進行統(tǒng)計(等級:A:優(yōu)秀,B:良好,C:一般,D:較差),并制作了如下統(tǒng)計圖表(部分信息未給出):
等級 | 人數 |
A | m |
B | 20 |
C | n |
D | 10 |
請根據統(tǒng)計圖表中的信息解答下列問題:
(1)這次共抽取了________名參加演講比賽的學生,統(tǒng)計圖中a=________,b=________;
(2)若該校學生共有2000人,如果都參加了演講比賽,請你估計成績達到優(yōu)秀的有多少人?
(3)若演講比賽成績?yōu)?/span>A等級的學生中恰好有2名女生,其余的學生為男生,從A等級的學生中抽取兩名同學參加全市演講比賽,求抽中一名男生和一名女生的概率.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,△ABC的三個頂點坐標分別為A(1,1),B(4,0),C(4,4).
(1)按下列要求作圖:
①將△ABC向左平移4個單位,得到△A1B1C1;
②將△A1B1C1繞點B1逆時針旋轉90°,得到△A2B2C2.
(2)求點C1在旋轉過程中所經過的路徑長.
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【題目】某興趣小組為了了解本校男生參加課外體育鍛煉情況,隨機抽取本校300名男生進行了問卷調查,統(tǒng)計整理并繪制了如下兩幅尚不完整的統(tǒng)計圖.
請根據以上信息解答下列問題:
(1)課外體育鍛煉情況扇形統(tǒng)計圖中,“經常參加”所對應的圓心角的度數為________;
(2)請補全條形統(tǒng)計圖;
(3)該校共有1200名男生,請估計全校男生中經常參加課外體育鍛煉并且最喜歡的項目是籃球的人數;
(4)小明認為“全校所有男生中,課外最喜歡參加的運動項目是乒乓球的人數約為1200×=108”,請你判斷這種說法是否正確,并說明理由.
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【題目】已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,下列說法:
①若a+b+c=0,則b2﹣4ac>0;
②若方程兩根為﹣1和2,則2a+c=0;
③若方程ax2+c=0有兩個不相等的實根,則方程ax2+bx+c=0必有兩個不相等的實根;
④若b=2a+c,則方程有兩個不相等的實根.其中正確的有( 。
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④
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