Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象過點(diǎn)B（0，1）和C（4，3）兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)D、點(diǎn)E，過點(diǎn)B和點(diǎn)C的直線與x軸交于點(diǎn)A．

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)在x軸上有一動點(diǎn)P，隨著點(diǎn)P的移動，存在點(diǎn)P使△PBC是直角三角形，請你求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)若動點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，在x軸上沿x軸正方向以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動，同時(shí)動點(diǎn)Q也從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒a個(gè)單位的速度沿射線AC運(yùn)動，是否存在以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABD相似？若存在，直接寫出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】(1)拋物線解析式y=x2–x+1；(2)點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，0），（3，0），（，0），（，0）；(3)a=或．

【解析】

(1) 將B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式,通過聯(lián)立方程組可求得b、c的值，進(jìn)而求出函數(shù)解析式;

(2)設(shè)P（x，0），由△PBC是直角三角形，分∠CBP=90°與∠BPC=90°兩種情況討論，運(yùn)用勾股定理可得x的值，進(jìn)而得到P點(diǎn)坐標(biāo);

(3)假設(shè)成立有△APQ∽△ADB或△APQ∽△ABD,則對應(yīng)邊成比例，可求出a的值.

(1)∵二次函數(shù)y=0.5x2+bx+c的圖象過點(diǎn)B（0，1）和C（4，3）兩點(diǎn)，

∴，解得，

∴拋物線解析式y=x2–x+1．

(2)設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，0）．

∵點(diǎn)P（x，0），點(diǎn)B（0，1），點(diǎn)C（4，3），

∴PB==，

CP= =，

BC= =2，

若∠BCP=90°，則BP2=BC2+CP2．

∴x2+1=20+x2–8x+25，∴x=．

若∠CBP=90°，則CP2=BC2+BP2．

∴x2+1+20=x2–8x+25，∴x=．

若∠BPC=90°，則BC2=BP2+CP2．

∴x2+1+x2–8x+25=20，

∴x1=1，x2=3，

綜上所述：點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，0），（3，0），（，0），（，0）．

(3)a=或．

∵拋物線解析式y=x2–x+1與x軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)E，

∴0=x2–x+1，∴x1=1，x2=2，∴點(diǎn)D（1，0）．

∵點(diǎn)B（0，1），C（4，3），

∴直線BC解析式y=x+1．

當(dāng)y=0時(shí)，x=–2，∴點(diǎn)A（–2，0）．

∵點(diǎn)A（–2，0），點(diǎn)B（0，1），點(diǎn)D（1，0），

∴AD=3，AB=．

設(shè)經(jīng)過t秒，∴AP=2t，AQ=at，

若△APQ∽△ADB，

∴，即，∴a=，

若△APQ∽△ABD，∴，即，∴a=．

綜上所述：a=或．