【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是中線,AC=BC,一個(gè)以點(diǎn)D為頂點(diǎn)的45°角繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn),使角的兩邊分別與AC、BC的延長(zhǎng)線相交,交點(diǎn)分別為E、F,DF與AC交于點(diǎn)M,DE與BC交于點(diǎn)N。
(1)求證:△ADM∽△BND;
(2)在∠EDF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中:
①探究三條線段CD、CE、CF之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由;
②若CE=4,CF=2,求DN的長(zhǎng).
【答案】(1)(略),(2)①見(jiàn)解析,②.
【解析】試題分析:(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠BCD=∠ACD=45°,∠BCE=∠ACF=90°,于是得到∠DCE=∠DCF=135°,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可的結(jié)論;
(2)①證得△CDF∽△CED,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到,即CD2=CECF;
②如圖,過(guò)D作DG⊥BC于G,于是得到∠DGN=∠ECN=90°,CG=DG,當(dāng)CE=4,CF=2時(shí),求得CD=,推出△CEN∽△GDN,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到 =2,根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.
(1)證明:∵∠ACB=90°,AC=BC,AD=BD,∴∠BCD=∠ACD=45°,∠BCE=∠ACF=90°,∴∠DCE=∠DCF=135°,在△DCE與△DCF中,∵CE=CF,∠DCE=∠DCF,CD=CD,∴△DCE≌△DCF,∴DE=DF;
(2)解:①∵∠DCF=∠DCE=135°,∴∠CDF+∠F=180°﹣135°=45°,∵∠CDF+∠CDE=45°,∴∠F=∠CDE,∴△CDF∽△CED,∴ ,即CD2=CECF;
②如圖,過(guò)D作DG⊥BC于G,則∠DGN=∠ECN=90°,CG=DG,當(dāng)CE=4,CF=2時(shí),由CD2=CECF得CD=,∴在Rt△DCG中,CG=DG=CDsin∠DCG=×sin45°=2,∵∠ECN=∠DGN,∠ENC=∠DNG,∴△CEN∽△GDN,∴ =2,∴GN=CG=,∴DN= ==.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】把下面的推理過(guò)程補(bǔ)充完整,并在括號(hào)內(nèi)填上理由.
已知:B、C、E三點(diǎn)在一條直線上,∠3=∠E,∠4+∠2=180°.
試說(shuō)明:∠BCF=∠E+∠F
解:∵∠3=∠E(已知)
∴EF∥ (內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行)
∵∠4+∠2=180°(已知)
∴CD∥
∴CD∥ (平行于同一條直線的兩條直線互相平行)
∴∠1=∠F,
∠2=
∵∠BCF=∠1+∠2(已知)
∴∠BCF=∠E+∠F(等量代換)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖:點(diǎn)P是四邊形ABCD外接圓⊙O上的任意一點(diǎn),且不與四邊形頂點(diǎn)重合,若AD是⊙O的直徑,AB=BC=CD,連接PA,PB,PC,若PA= ,求點(diǎn)A到PB和PC的距離之和AE+AF是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知矩形ABCD中,AB=8cm,BC=16cm,AC的垂直平分線EF分別交AD、BC于點(diǎn)E、F,垂足為O.
(1)如圖1,連接AF、CE,判斷四邊形AFCE的形狀,并說(shuō)明理由;
(2)如圖2,動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),P點(diǎn)沿著A→F→B→A勻速運(yùn)動(dòng),Q點(diǎn)沿著C→D→E→C勻速運(yùn)動(dòng),在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中:
① 已知點(diǎn)P的速度為10cm/s,點(diǎn)Q的速度為8cm/s,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,問(wèn)當(dāng)t為何值時(shí),點(diǎn)A,C,P,Q組成的四邊形為平行四邊形?
② 點(diǎn)P,Q的運(yùn)動(dòng)路程分別為a,b(單位:cm,ab≠0),問(wèn)當(dāng)a,b滿(mǎn)足怎樣的關(guān)系式時(shí),點(diǎn)A,C,P,Q組成的四邊形為平行四邊形?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某公司為了擴(kuò)大經(jīng)營(yíng),決定購(gòu)進(jìn)6臺(tái)機(jī)器用于生產(chǎn)某活塞.現(xiàn)有甲、乙兩種機(jī)器供選擇,其中每種機(jī)器的價(jià)格和每臺(tái)機(jī)器日生產(chǎn)活塞的數(shù)量如下表所示.經(jīng)過(guò)預(yù)算,本次購(gòu)買(mǎi)機(jī)器所耗資金不能超過(guò)34萬(wàn)元.
甲 | 乙 | |
價(jià)格(萬(wàn)元/臺(tái)) | 7 | 5 |
每臺(tái)日產(chǎn)量(個(gè)) | 100 | 60 |
(1)按該公司要求可以有幾種購(gòu)買(mǎi)方案?
(2)如果該公司購(gòu)進(jìn)的6臺(tái)機(jī)器的日生產(chǎn)能力不能低于380個(gè),那么為了節(jié)約資金應(yīng)選擇什么樣的購(gòu)買(mǎi)方案?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了“迎國(guó)慶,向祖國(guó)母親獻(xiàn)禮”,某建筑公司承建了修筑一段公路的任務(wù),指派甲、乙兩隊(duì)合作,18天可以完成,共需施工費(fèi)126000元;如果甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程,乙隊(duì)所用時(shí)間是甲隊(duì)的1.5倍,乙隊(duì)每天的施工費(fèi)比甲隊(duì)每天的施工費(fèi)少1000元.
(1)甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程,各需多少天?
(2)為了盡快完成這項(xiàng)工程任務(wù),甲、乙兩隊(duì)通過(guò)技術(shù)革新提高了速度,同時(shí),甲隊(duì)每天的施工費(fèi)提高了,乙隊(duì)每天的施工費(fèi)提高了,已知兩隊(duì)合作12天后,由甲隊(duì)再單獨(dú)做2天就完成了這項(xiàng)工程任務(wù),且所需施工費(fèi)比計(jì)劃少了21200元.
①分別求出甲、乙兩隊(duì)技術(shù)革新前每天的施工費(fèi)用;
②求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,E是AD的中點(diǎn),延長(zhǎng)CE,BA交于點(diǎn)F,連接AC,DF.
(1)求證:四邊形ACDF是平行四邊形;
(2)當(dāng)CF平分∠BCD時(shí),寫(xiě)出BC與CD的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,拋物線的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn),已知點(diǎn)B坐標(biāo)為(4,0).
(1)求拋物線的解析式;
(2)判斷△ABC的形狀,直接寫(xiě)出△ABC外接圓的圓心坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=4,AD=3,把矩形沿直線AC折疊,使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處,AE交CD于點(diǎn)F,連接DE.
(1)求證:△DEC≌△EDA;
(2)求DF的值;
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