Question

已知：在△ACB中，∠ACB=90°，M是AB中點，MD⊥AB交AC于E，交BC的延長線于D，求證：AB²=4ME•MD．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：作出圖形，易證∠A=∠D，再根據(jù)∠AME=∠DMB=90°即可證明△AME∽△DME，可得

AM

ME

=

DM

BM

，整理得：AM•BM=ME•MD，再根據(jù)AM=BM=

1

2

AB，即可解題．

解答：證明：作出圖形，

∵∠A+∠AEM=90°，∠D+∠DEC=90°，∠DEC=∠AEM，
∴∠A=∠D，
∵∠AME=∠DMB=90°，
∴△AME∽△DME，
∴

AM

ME

=

DM

BM

，
∴AM•BM=ME•MD，
∵M是AB中點，
∴AM=BM=

1

2

AB，
∴

1

4

AB²=ME•MD，
∴AB²=4ME•MD．

點評：本題考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形對應邊比例相等的性質(zhì)，本題中求證△AME∽△DME是解題的關鍵．