Question

已知：如圖，正方形ABCD的邊長為6

2

cm，E為AB的中點，點P從D點出發(fā)，在對角線DB上運動，速度為2cm/s．
（1）求證：PA=PC；
（2）當(dāng)P點運動到什么位置時，PA+PE的值最��？請求出PA+PE的最小值；
（3）當(dāng)PA+PE的值最小時，請求出P點運動的時間．

Answer 1

考點：軸對稱-最短路線問題,全等三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)求得AB=BC，∠ABP=∠CBP，然后根據(jù)SAS證得△PDA≌△PDC，從而中點PA=PC．
（2）連接CE，交BD于點P，P就是所求的點，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)和兩點之間線段最短，可知CE=PA+PC的最小值．
（3）根據(jù)三角形相似的性質(zhì)求得DP的長，即可求得P點運動的時間．

解答：（1）證明：如圖1，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABP=∠CBP，
在△PDA和△PDC中

AB=CB ∠ABP=∠CBP=45° BP=BP

，
∴△PDA≌△PDC（SAS），
∴PA=PC．
（2）解：如圖2，連接CE，交BD于點P，P就是所求的點．
∵點A關(guān)于BD的對稱點為點C，
∴PE+PA=CE，
根據(jù)兩點之間線段最短可得CE就是AP+PE的最小值，
∵正方形ABCD的邊長為6

2

cm，E是BC邊的中點，
∴BE=3

2

cm，
∴CE=

(6 2 )2+(3 2 )2

=4

5

（cm），
即PA+PE的最小值為：4

5

cm．
（3）解：如圖2，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∴∠PDC=∠PBE，∠PCD=∠PEB，
∴△BEP∽△DCP，
∴

BE

DC

=

BP

DP

=

1

2

在Rt△ABD中由勾股定理得BD=12
∴DP=8（cm）
∴P點運動時間=8÷2=4s

點評：此題主要考查了正方形的性質(zhì)和軸對稱，三角形相似的性質(zhì)及勾股定理知識的綜合應(yīng)用．根據(jù)已知得出兩點之間線段最短可得CE就是AP+PE的最小值是解題關(guān)鍵．