Question

【題目】已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC．點E為CD邊上一點，AE與BE分別為∠DAB和∠CBA的平分線．

（1）請你添加一個適當?shù)臈l件　 　，使得四邊形ABCD是平行四邊形，并證明你的結(jié)論；

（2）作線段AB的垂直平分線交AB于點O，并以AB為直徑作⊙O（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；

（3）在（2）的條件下，⊙O交邊AD于點F，連接BF，交AE于點G，若AE=4，sin∠AGF=，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）當AD=BC時，四邊形ABCD是平行四邊形，理由見解析；（2）作出相應(yīng)的圖形見解析；（3）圓O的半徑為2.5．

【解析】（1）添加條件AD=BC，利用一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形驗證即可；

（2）作出相應(yīng)的圖形，如圖所示；

（3）由平行四邊形的對邊平行得到AD與BC平行，可得同旁內(nèi)角互補，再由AE與BE為角平分線，可得出AE與BE垂直，利用直徑所對的圓周角為直角，得到AF與FB垂直，可得出兩銳角互余，根據(jù)角平分線性質(zhì)及等量代換得到∠AGF=∠AEB，根據(jù)sin∠AGF的值，確定出sin∠AEB的值，求出AB的長，即可確定出圓的半徑．

（1）當AD=BC時，四邊形ABCD是平行四邊形，理由為：

證明：∵AD∥BC，AD=BC，

∴四邊形ABCD為平行四邊形；

故答案為：AD=BC；

（2）作出相應(yīng)的圖形，如圖所示；

（3）∵AD∥BC，

∴∠DAB+∠CBA=180°，

∵AE與BE分別為∠DAB與∠CBA的平分線，

∴∠EAB+∠EBA=90°，

∴∠AEB=90°，

∵AB為圓O的直徑，點F在圓O上，

∴∠AFB=90°，

∴∠FAG+∠FGA=90°，

∵AE平分∠DAB，

∴∠FAG=∠EAB，

∴∠AGF=∠ABE，

∴sin∠ABE=sin∠AGF=，

∵AE=4，

∴AB=5，

則圓O的半徑為2.5．