【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=2.點P從點A出發(fā),以每秒個單位長度的速度向終點C運動,點Q從點B出發(fā),以每秒2個單位長度的速度向終點A運動,連接PQ,將線段PQ繞點Q順時針旋轉90°得到線段QE,以PQ、QE為邊作正方形PQEF.設點P運動的時間為t秒(t>0)
(1)點P到邊AB的距離為______(用含t的代數(shù)式表示)
(2)當PQ∥BC時,求t的值
(3)連接BE,設△BEQ的面積為S,求S與t之間的函數(shù)關系式
(4)當E、F兩點中只有一個點在△ABC的內(nèi)部時,直接寫出t的取值范圍
【答案】(1)t;(2)t=1;(3)S=;(4)詳見解析.
【解析】
(1)作PH⊥AB交AB于點H,根據(jù)相似三角形,求出PH即可;
(2)根據(jù)平行線成比例性質(zhì),當PQ∥BC時,,即可求出t;
(3)分為0<t<1和1≤t≤2兩種情況,進行討論;
(4)根據(jù)題目,當F點在AB上時,此時t=1,當0<t≤1.時,當E、F至少有一個點在△ABC的內(nèi)部,當1<t≤2時,沒有點在內(nèi)部.
解:(1)如圖1,作PH⊥AB交AB于點H,
在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=2,AC=.
根據(jù)題意,AP=t,
∵∠A=∠A,∠B=∠AHP,
∴△AHP~△ABC,
∴,即,解得PH=t,
即點P到邊AB的距離為t.
故答案為t
(2)根據(jù)題意,AP=,BQ=2t,AQ=4-2t,
當PQ∥BC時,,即,解得t=1
(3)由(1)可知,E,F運動過程可分為兩個階段
當0<t<1,如圖2,連接BE,作PH⊥AB交AB于點H,作GE⊥AB交AB于點G,
∵∠HPG+∠PQH=∠HQP+∠GQE=90°,
∵,
∴△PHQ≌△QGE(AAS),
∴AH=BQ=2t,HQ=GE=4-4t,
S=,
當1≤t≤2,
連接BE,作PH⊥AB交AB于點H,作GE⊥AB交AB于點G,
同理可證∴△PHQ≌△QGE(AAS),
∴AH=BQ=2t,HQ=GE=4t-4,
S=,
∵S>0,∴t≠0,
∴S=;
(4)由(1)知,當F點在AB上時,此時t=1,
當0<t≤1.時,當E、F至少有一個點在△ABC的內(nèi)部;當1<t≤2時,沒有點在內(nèi)部.
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【題目】如圖所示,一輛單車放在水平的地面上,車把頭下方處與坐墊下方處在平行于地面的同一水平線上,,之間的距離約為,現(xiàn)測得,與的夾角分別為與,若點到地面的距離為,坐墊中軸處與點的距離為,求點到地面的距離(結果保留一位小數(shù)).(參考數(shù)據(jù):,,)
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【題目】如圖,將△ABC沿BC邊上的中線AD平移到△A'B'C'的位置,已知△ABC的面積為9,陰影部分三角形的面積為4.若AA'=1,則A'D等于( )
A. 2 B. 3 C. D.
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【題目】已知關于的方程有唯一實數(shù)解,且反比例函數(shù)的圖象在每個象限內(nèi)隨的增大而增大,那么反比例函數(shù)的關系式為( )
A. B. C. D.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=-1的頂點為A,直線l過點P(0,m)且平行于x軸,與拋物線交于點B和點C.若AB=AC,∠BAC=90°,則m=______.
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=3+,∠B=45°,∠C=105°,點 D、E、F分別在AC、BC、AB上,且四邊形ADEF為菱形,若點P是AE上一個動點,則PF+PB的最小值為___________ 。
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【題目】已知關于的一元二次方程.
(1)若此方程的一個根為1,求的值;
(2)求證:不論取何實數(shù),此方程都有兩個不相等的實數(shù)根.
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【題目】如圖,正方形ABCD中,BD為對角線.
(1)尺規(guī)作圖:作CD邊的垂直平分線EF,交CD于點E,交BD于點F(保留作圖痕跡,不要求寫作法);
(2)在(1)的條件下,若AB=4,求△DEF的周長.
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【題目】如圖,(b為常數(shù))的圖象與x軸,y軸分別交于點A,B與反比例函數(shù)(x>0)的圖象交于點C.若ACBC=4,則k的值為_____.
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