【題目】如圖,拋物線y═﹣x2+bx+c與x軸交于點A和點B,與y軸交于點C,點B的坐標為(3,0),點C的坐標為(0,5).有一寬度為1,長度足夠長的矩形(陰影部分)沿x軸方向平移,與y軸平行的一組對邊交拋物線于點P和點Q,交直線AC于點M和點N,交x軸于點E和點F.
(1)求拋物線的解析式及點A的坐標;
(2)當點M和N都在線段AC上時,連接MF,如果sin∠AMF=,求點Q的坐標;
(3)在矩形的平移過程中,是否存在以點P,Q,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形,若存在,求出點M的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=﹣x2﹣x+5,點A的坐標是(﹣5,0);(2)點Q坐標(﹣4,);(3)以點P,Q,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形時,點M的坐標為(﹣2,3)或(﹣2+,3+)或(﹣2﹣,3﹣).
【解析】
(1)把點B、C的坐標代入函數(shù)解析式求出b、c的值,進而求出點A的坐標即可;(2) 作FG⊥AC于G , 設點F坐標(m,0),根據(jù)sin∠AMF=,列出方程解答即可; (3)分兩種情況討論①當MN是對角線時;②當MN為邊時;解答即可.
(1)∵拋物線上的點B的坐標為(3,0),點C的坐標為(0,5)
∴將其代入y═﹣x2+bx+c,得
,
解得b=﹣,c=5.
∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣x+5.
∴點A的坐標是(﹣5,0).
(2)作FG⊥AC于G,
設點F坐標(m,0),
則AF=m+5,AE=EM=m+6,F(xiàn)G=(m+5),F(xiàn)M=,
∵sin∠AMF=,
∴=,
∴=,
整理得到2m2+19m+44=0,
∴(m+4)(2m+11)=0,
∴m=﹣4或﹣5.5(舍棄),
∴點Q坐標(﹣4,).
(3)①當MN是對角線時,點M在y軸的右側,設點F(m,0),
∵直線AC解析式為y=x+5,
∴點N(m,m+5),點M(m+1,m+6),
∵QN=PM,
∴﹣m2﹣m+5﹣m﹣5=m+6﹣[﹣(m+1)2﹣(m+1)+5],
解得m=﹣3+或﹣3﹣(舍棄),
此時M(﹣2+,3+),
當MN是對角線時,點N在點A的左側時,設點F(m,0).
∴m+5﹣(﹣m2﹣m+5)=[﹣(m+1)2﹣(m+1)+5]﹣(m+6),
解得m=﹣3﹣或﹣3+(舍棄),
此時M(﹣2﹣,3﹣)
②當MN為邊時,設點Q(m,﹣m2﹣m+5)則點P(m+1,﹣m2﹣m+6),
∵NQ=PM,
∴﹣m2﹣m+6=﹣(m+1)2﹣(m+1)+5,
解得m=﹣3.
∴點M坐標(﹣2,3),
綜上所述以點P,Q,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形時,點M的坐標為(﹣2,3)或(﹣2+,3+)或(﹣2﹣,3﹣).
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【題目】在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,D、E是直線AB上兩點.∠DCE=45°
(1)當CE⊥AB時,點D與點A重合,求證:DE2=AD2+BE2
(2)當AB=4時,求點E到線段AC的最短距離
(3)當點D不與點A重合時,探究:DE2=AD2+BE2是否成立?若成立,請證明;若不成立,請說明理由
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【題目】如圖,△ABC中,∠C=90°,⊙O是△ABC的內(nèi)切圓,D、E、F是切點.
(1)求證:四邊形ODCE是正方形;
(2)如果AC=6,BC=8,求內(nèi)切圓⊙O的半徑.
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【題目】中考低于測試前,某區(qū)教育局為了了解選報引體向上的九年級男生的成績情況,隨機抽查了本區(qū)部分選報引體向上項目的九年級男生的成績,并將測試得到的成績繪成了下面兩幅不完整的統(tǒng)計圖.
請你根據(jù)圖中的信息,解答下列問題:
(Ⅰ)寫出扇形圖中a= %,本次抽測中,成績?yōu)?/span>6個的學生有 名.
(Ⅱ)求這次抽測中,測試成績的平均數(shù),眾數(shù)和中位數(shù);
(Ⅲ)該區(qū)體育中考選報引體向上的男生共有1800人,如果體育中考引體向上達6個以上(含6個)得滿分,請你估計該區(qū)體育中考選報引體向上的男生能獲得滿分的有多少名?
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【題目】如圖,雷達站C處檢測到一枚由地面垂直升空的巡航導彈,導彈以240m/s的速度,用10秒從點A飛行到點B,在C處測得點A,B的仰角分別為34°和45°,求導彈發(fā)射位置O與雷達站C之間的距離(結果精確到0.1km),(參考數(shù)據(jù):sin34°≈0.56,cos34°≈0.83,tan34°≈0.67)
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【題目】如圖,防洪大堤的橫截面ABGH是梯形,背水坡AB的坡度i=1:(垂直高度AE與水平寬度BE的比),AB=20米,BC=30米,身高為1.7米的小明(AM=1.7米)站在大堤A點(M,A,E三點在同一條直線上),測得電線桿頂端D的仰角∠a=20°.
(1)求背水坡AB的坡角;
(2)求電線桿CD的高度.(結果精確到個位,參考數(shù)據(jù)sin20°≈0.3,cos20°≈0.9,tan20°≈0.4,≈1.7)
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【題目】如圖,已知△ABC,∠C=90°,按以下步驟:①分別以A.B為圓心,以大于AB的長為半徑作弧,兩弧相交于兩點M、N;②作直線MN交BC于點D. 若AC=1.5,∠B=15°.則BD等于( )
A.1.5B.2C.2.5D.3
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【題目】已知,如圖△ABC中,∠ABC=45°,AB=BC,CD⊥AB于D,BE平分∠ABC,且BE⊥AC于E,與CD相交于點F.H是BC邊的中點,連接DH與BE相交于點G,
(1)求證BF=AC;
(2)求證CE=BF.
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